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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Körpererweiterung
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Universität/Hochschule Körpererweiterung
felix0429
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-08


hallo, Leute.
ich sitze am Tisch seit 2 stunden und habe gar keine Ahnung wie man die Aufgabe a)  lösen kann. kann jemand mir helfen?
vielen dank




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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-08

\(\begingroup\)\( \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, felix0429,

wenn du einen Unterring von \(\IZ\) finden müsstest, der \(3\IZ\) und \(5\IZ\) enthält,
 was würdest du tun?

Wally
\(\endgroup\)


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felix0429
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-08

\(\begingroup\)\( \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
2019-11-08 22:16 - Wally in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo, felix0429,

wenn du einen Unterring von \(\IZ\) finden müsstest, der \(3\IZ\) und \(5\IZ\) enthält,
 was würdest du tun?

Wally


d.h L=Q(√15) ?
\(\endgroup\)


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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-08


Hallo Felix,

2019-11-08 22:34 - felix0429 in Beitrag No. 2 schreibt:

d.h L=Q(√15) ?

leider nicht. \(3\mathbb{Z}\) ist ja auch nicht in \(15\mathbb{Z}\) enthalten. Was ist die einfachste Körpererweiterung, die zwei verschiedene algebraische Elemente enthält?

lg Wladimir



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felix0429
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-08


2019-11-08 23:06 - wladimir_1989 in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo Felix,

2019-11-08 22:34 - felix0429 in Beitrag No. 2 schreibt:

d.h L=Q(√15) ?

leider nicht. \(3\mathbb{Z}\) ist ja auch nicht in \(15\mathbb{Z}\) enthalten. Was ist die einfachste Körpererweiterung, die zwei verschiedene algebraische Elemente enthält?

lg Wladimir

hi Wladmir

danke für die Antwort
ich glaub L=Q(√3+√5) ?  d.h L enthält algebraische zahlen √3 und √5.    richtig?

lg Felix



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-08


Hallo,

das ist richtig, es ist allerdings eher die Antwort auf die Teilfrage d), bei a) war glaube ich einfach nach \(\mathbb{Q}[\sqrt{3},\sqrt{5}]\) gefragt. Kannst du nun zeigen, dass
\(\mathbb{Q}[\sqrt{3},\sqrt{5}]=\mathbb{Q}[\sqrt{3}+\sqrt{5}]\) gilt?

lg Wladimir



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felix0429
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-12


2019-11-08 23:41 - wladimir_1989 in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo,

das ist richtig, es ist allerdings eher die Antwort auf die Teilfrage d), bei a) war glaube ich einfach nach \(\mathbb{Q}[\sqrt{3},\sqrt{5}]\) gefragt. Kannst du nun zeigen, dass
\(\mathbb{Q}[\sqrt{3},\sqrt{5}]=\mathbb{Q}[\sqrt{3}+\sqrt{5}]\) gilt?

lg Wladimir

vielen vielen dank!! jetzt hab ich die Aufgabe a,b und c fertig gemacht. und komme kein Ergebnis auf d.  was bedeutet d? ist die frage nicht gleich wie a??

lg Felix



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-12


Hallo,

das \(\alpha\) in d) hast du doch bereits gefunden, mit \(\alpha=\sqrt{3}+\sqrt{5}\). Du musst nur noch zeigen, dass tatsächlich \(\mathbb{Q}[\sqrt{3},\sqrt{5}]=\mathbb{Q}[\sqrt{3}+\sqrt{5}]\) gilt.


lg Wladimir



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-13


Was den Beweis von $\IQ(\sqrt{3}+\sqrt{5}) = \IQ(\sqrt{3},\sqrt{5})$ angeht:

Die Inklusion $\subseteq$ ist klar. Der Körper $\IQ(\sqrt{3},\sqrt{5})$ hat Grad $4$ über $\IQ$. Es reicht also zu zeigen, dass $\IQ(\sqrt{3}+\sqrt{5})$ Grad $4$ über $\IQ$ hat.

Bestimme dazu das Minimalpolynom von $\alpha := \sqrt{3}+\sqrt{5}$ über $\IQ$. Berechne dazu $\alpha^2$ und ziehe dann einen geeigneten Term ab, und quadriere erneut.



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-13


Hallo Felix,

2019-11-13 09:48 - Triceratops in Beitrag No. 8 schreibt:
Was den Beweis von $\IQ(\sqrt{3}+\sqrt{5}) = \IQ(\sqrt{3},\sqrt{5})$ angeht:

Die Inklusion $\subseteq$ ist klar. Der Körper $\IQ(\sqrt{3},\sqrt{5})$ hat Grad $4$ über $\IQ$. Es reicht also zu zeigen, dass $\IQ(\sqrt{3}+\sqrt{5})$ Grad $4$ über $\IQ$ hat.

Bestimme dazu das Minimalpolynom von $\alpha := \sqrt{3}+\sqrt{5}$ über $\IQ$. Berechne dazu $\alpha^2$ und ziehe dann einen geeigneten Term ab, und quadriere erneut.

Alternativ kann für die schwierigere Inklusion die binomische Formel
\((a-b)(a+b)=a^2-b^2 \) mit geeigneten a und b benutzt werden.


lg Wladimir



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felix0429
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-13


2019-11-13 11:35 - wladimir_1989 in Beitrag No. 9 schreibt:
Hallo Felix,

2019-11-13 09:48 - Triceratops in Beitrag No. 8 schreibt:
Was den Beweis von <math>\IQ(\sqrt{3}+\sqrt{5}) = \IQ(\sqrt{3},\sqrt{5})</math> angeht:

Die Inklusion <math>\subseteq</math> ist klar. Der Körper <math>\IQ(\sqrt{3},\sqrt{5})</math> hat Grad <math>4</math> über <math>\IQ</math>. Es reicht also zu zeigen, dass <math>\IQ(\sqrt{3}+\sqrt{5})</math> Grad <math>4</math> über <math>\IQ</math> hat.

Bestimme dazu das Minimalpolynom von <math>\alpha := \sqrt{3}+\sqrt{5}</math> über <math>\IQ</math>. Berechne dazu <math>\alpha^2</math> und ziehe dann einen geeigneten Term ab, und quadriere erneut.

Alternativ kann für die schwierigere Inklusion die binomische Formel
<math>(a-b)(a+b)=a^2-b^2 </math> mit geeigneten a und b benutzt werden.


lg Wladimir

hallo nochmal danke für die Antwort

jetzt vestehe ich die Aufgaben.
bei a) beweise ich<math>\ L=Q(\sqrt{3},\sqrt{5})</math>  und b) & c) ist klar.  bei d) beweise ich <math>\IQ(\sqrt{3}+\sqrt{5}) = \IQ(\sqrt{3},\sqrt{5})</math>

und bei a) hab ich so geschrieben: [Q√3:Q]=2 und nach dem Gradsatz gilt :[Q(√3,√5):Q]=[Q(√3,√5):Q(√3)]*[Q(√3):Q].  und jetzt muss ich nur beweisen dass [Q(√3,√5):Q(√3)]=2 ist. und danach gilt [L:Q]=4.   dann ist der Beweis fertig oder?

lg Felix



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-11-13


Hallo,

2019-11-13 20:00 - felix0429 in Beitrag No. 10 schreibt:

und bei a) hab ich so geschrieben: [Q√3:Q]=2 und nach dem Gradsatz gilt :[Q(√3,√5):Q]=[Q(√3,√5):Q(√3)]*[Q(√3):Q].  und jetzt muss ich nur beweisen dass [Q(√3,√5):Q(√3)]=2 ist. und danach gilt [L:Q]=4.   dann ist der Beweis fertig oder?

lg Felix

genau.

lg Wladimir



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felix0429
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-13


2019-11-13 20:08 - wladimir_1989 in Beitrag No. 11 schreibt:
Hallo,

2019-11-13 20:00 - felix0429 in Beitrag No. 10 schreibt:

und bei a) hab ich so geschrieben: [Q√3:Q]=2 und nach dem Gradsatz gilt :[Q(√3,√5):Q]=[Q(√3,√5):Q(√3)]*[Q(√3):Q].  und jetzt muss ich nur beweisen dass [Q(√3,√5):Q(√3)]=2 ist. und danach gilt [L:Q]=4.   dann ist der Beweis fertig oder?

lg Felix

genau.

lg Wladimir

du rettest mein Leben! vielen dank! :-)



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