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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Körpererweiterung
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Universität/Hochschule Körpererweiterung
felix0429
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  Themenstart: 2019-11-08

hallo, Leute. ich sitze am Tisch seit 2 stunden und habe gar keine Ahnung wie man die Aufgabe a) lösen kann. kann jemand mir helfen? vielen dank https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51434_Bildschirmfoto_2019-11-08_um_22.08.37.png


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, felix0429, wenn du einen Unterring von \(\IZ\) finden müsstest, der \(3\IZ\) und \(5\IZ\) enthält, was würdest du tun? Wally\(\endgroup\)


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felix0429
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-08

\quoteon(2019-11-08 22:16 - Wally in Beitrag No. 1) Hallo, felix0429, wenn du einen Unterring von \(\IZ\) finden müsstest, der \(3\IZ\) und \(5\IZ\) enthält, was würdest du tun? Wally \quoteoff d.h L=Q(√15) ?


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wladimir_1989
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-08

Hallo Felix, \quoteon(2019-11-08 22:34 - felix0429 in Beitrag No. 2) d.h L=Q(√15) ? \quoteoff leider nicht. \(3\mathbb{Z}\) ist ja auch nicht in \(15\mathbb{Z}\) enthalten. Was ist die einfachste Körpererweiterung, die zwei verschiedene algebraische Elemente enthält? lg Wladimir


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felix0429
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-08

\quoteon(2019-11-08 23:06 - wladimir_1989 in Beitrag No. 3) Hallo Felix, \quoteon(2019-11-08 22:34 - felix0429 in Beitrag No. 2) d.h L=Q(√15) ? \quoteoff leider nicht. \(3\mathbb{Z}\) ist ja auch nicht in \(15\mathbb{Z}\) enthalten. Was ist die einfachste Körpererweiterung, die zwei verschiedene algebraische Elemente enthält? lg Wladimir \quoteoff hi Wladmir danke für die Antwort ich glaub L=Q(√3+√5) ? d.h L enthält algebraische zahlen √3 und √5. richtig? lg Felix


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wladimir_1989
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  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-08

Hallo, das ist richtig, es ist allerdings eher die Antwort auf die Teilfrage d), bei a) war glaube ich einfach nach \(\mathbb{Q}[\sqrt{3},\sqrt{5}]\) gefragt. Kannst du nun zeigen, dass \(\mathbb{Q}[\sqrt{3},\sqrt{5}]=\mathbb{Q}[\sqrt{3}+\sqrt{5}]\) gilt? lg Wladimir


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felix0429
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-12

\quoteon(2019-11-08 23:41 - wladimir_1989 in Beitrag No. 5) Hallo, das ist richtig, es ist allerdings eher die Antwort auf die Teilfrage d), bei a) war glaube ich einfach nach \(\mathbb{Q}[\sqrt{3},\sqrt{5}]\) gefragt. Kannst du nun zeigen, dass \(\mathbb{Q}[\sqrt{3},\sqrt{5}]=\mathbb{Q}[\sqrt{3}+\sqrt{5}]\) gilt? lg Wladimir \quoteoff vielen vielen dank!! jetzt hab ich die Aufgabe a,b und c fertig gemacht. und komme kein Ergebnis auf d. was bedeutet d? ist die frage nicht gleich wie a?? lg Felix


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wladimir_1989
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  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-12

Hallo, das \(\alpha\) in d) hast du doch bereits gefunden, mit \(\alpha=\sqrt{3}+\sqrt{5}\). Du musst nur noch zeigen, dass tatsächlich \(\mathbb{Q}[\sqrt{3},\sqrt{5}]=\mathbb{Q}[\sqrt{3}+\sqrt{5}]\) gilt. lg Wladimir


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Triceratops
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  Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-13

Was den Beweis von $\IQ(\sqrt{3}+\sqrt{5}) = \IQ(\sqrt{3},\sqrt{5})$ angeht: Die Inklusion $\subseteq$ ist klar. Der Körper $\IQ(\sqrt{3},\sqrt{5})$ hat Grad $4$ über $\IQ$. Es reicht also zu zeigen, dass $\IQ(\sqrt{3}+\sqrt{5})$ Grad $4$ über $\IQ$ hat. Bestimme dazu das Minimalpolynom von $\alpha := \sqrt{3}+\sqrt{5}$ über $\IQ$. Berechne dazu $\alpha^2$ und ziehe dann einen geeigneten Term ab, und quadriere erneut.


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wladimir_1989
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  Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-13

Hallo Felix, \quoteon(2019-11-13 09:48 - Triceratops in Beitrag No. 8) Was den Beweis von $\IQ(\sqrt{3}+\sqrt{5}) = \IQ(\sqrt{3},\sqrt{5})$ angeht: Die Inklusion $\subseteq$ ist klar. Der Körper $\IQ(\sqrt{3},\sqrt{5})$ hat Grad $4$ über $\IQ$. Es reicht also zu zeigen, dass $\IQ(\sqrt{3}+\sqrt{5})$ Grad $4$ über $\IQ$ hat. Bestimme dazu das Minimalpolynom von $\alpha := \sqrt{3}+\sqrt{5}$ über $\IQ$. Berechne dazu $\alpha^2$ und ziehe dann einen geeigneten Term ab, und quadriere erneut. \quoteoff Alternativ kann für die schwierigere Inklusion die binomische Formel \((a-b)(a+b)=a^2-b^2 \) mit geeigneten a und b benutzt werden. lg Wladimir


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felix0429
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\quoteon(2019-11-13 11:35 - wladimir_1989 in Beitrag No. 9) Hallo Felix, \quoteon(2019-11-13 09:48 - Triceratops in Beitrag No. 8) Was den Beweis von $\IQ(\sqrt{3}+\sqrt{5}) = \IQ(\sqrt{3},\sqrt{5})$ angeht: Die Inklusion $\subseteq$ ist klar. Der Körper $\IQ(\sqrt{3},\sqrt{5})$ hat Grad $4$ über $\IQ$. Es reicht also zu zeigen, dass $\IQ(\sqrt{3}+\sqrt{5})$ Grad $4$ über $\IQ$ hat. Bestimme dazu das Minimalpolynom von $\alpha := \sqrt{3}+\sqrt{5}$ über $\IQ$. Berechne dazu $\alpha^2$ und ziehe dann einen geeigneten Term ab, und quadriere erneut. \quoteoff Alternativ kann für die schwierigere Inklusion die binomische Formel $(a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ mit geeigneten a und b benutzt werden. lg Wladimir \quoteoff hallo nochmal danke für die Antwort jetzt vestehe ich die Aufgaben. bei a) beweise ich$\ L=Q(\sqrt{3},\sqrt{5})$ und b) & c) ist klar. bei d) beweise ich $\IQ(\sqrt{3}+\sqrt{5}) = \IQ(\sqrt{3},\sqrt{5})$ und bei a) hab ich so geschrieben: [Q√3:Q]=2 und nach dem Gradsatz gilt :[Q(√3,√5):Q]=[Q(√3,√5):Q(√3)]*[Q(√3):Q]. und jetzt muss ich nur beweisen dass [Q(√3,√5):Q(√3)]=2 ist. und danach gilt [L:Q]=4. dann ist der Beweis fertig oder? lg Felix


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wladimir_1989
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  Beitrag No.11, eingetragen 2019-11-13

Hallo, \quoteon(2019-11-13 20:00 - felix0429 in Beitrag No. 10) und bei a) hab ich so geschrieben: [Q√3:Q]=2 und nach dem Gradsatz gilt :[Q(√3,√5):Q]=[Q(√3,√5):Q(√3)]*[Q(√3):Q]. und jetzt muss ich nur beweisen dass [Q(√3,√5):Q(√3)]=2 ist. und danach gilt [L:Q]=4. dann ist der Beweis fertig oder? lg Felix \quoteoff genau. lg Wladimir


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felix0429
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\quoteon(2019-11-13 20:08 - wladimir_1989 in Beitrag No. 11) Hallo, \quoteon(2019-11-13 20:00 - felix0429 in Beitrag No. 10) und bei a) hab ich so geschrieben: [Q√3:Q]=2 und nach dem Gradsatz gilt :[Q(√3,√5):Q]=[Q(√3,√5):Q(√3)]*[Q(√3):Q]. und jetzt muss ich nur beweisen dass [Q(√3,√5):Q(√3)]=2 ist. und danach gilt [L:Q]=4. dann ist der Beweis fertig oder? lg Felix \quoteoff genau. lg Wladimir \quoteoff du rettest mein Leben! vielen dank! :-)


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