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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Beweis Monotonie rekursiver Folge
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Universität/Hochschule J Beweis Monotonie rekursiver Folge
Dreadwar
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.04.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-10


Hallo liebe Leute, ich bins mal wieder :D

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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2418
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-10


Hallo,

du möchtest also beweisen, dass die rekursiv definierte Folge

$R_1=3R$, $R_{n+1}=2R+\frac{1}{1/R+1/R_n}$ monoton (fallend) ist.

Dies möchtest du mit Induktion machen.
Für den Induktionsanfang muss also gelten.

$R_1>R_2$.

Dies ist leicht überprüft. Denn

$R_2=2R+\frac{1}{1/R+1/R_1}=2R+\frac{1}{1/R+1/3R}=2R+\frac{1}{\frac{3+1}{3R}}=2R+\frac{1}{\frac{4}{3R}}=2R+\frac{3R}{4}<3R$

Die Induktionsvoraussetzung ist nun also:

Für festes aber beliebiges $n\in\mathbb{N}$ gilt $R_n>R_{n+1}$

Nun wollen wir den Induktionsschritt durchführen.

Wir müssen also unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung zeigen, dass $R_{n+1}>R_{n+2}$ gilt.

Nun ist $R_n$ rekursiv definiert.
Du kannst also $R_{n+1}$ und $R_{n+2}$ nur in Abhängigkeit von $R_n$ darstellen.
Das wird dir helfen $R_{n+1}$ und $R_{n+2}$ zu vergleichen.

Alternativ kannst du auch $n-1\mapsto n$ zeigen.



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Dreadwar
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 92
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-10


Hallo PrinzessinEinhorn,

danke für die Antwort!

Ja, so weit bin ich auch gekommen denke ich, ich weiß nur nicht wie ich vorgehen soll bzw. wie ich das jetzt aufschreiben soll. Das Einzige was mir da einfallen würde wäre:

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Da hörts dann auch schon auf, leider :/



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PrinzessinEinhorn
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Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2418
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-10


Wir wollen zeigen, dass $R_{n+1}>R_{n+2}$. Diese zwei Terme können wir aber schwer Vergleichen, denn

$R_{n+1}=2R+\frac{1}{1/R+1/R_n}$

und

$R_{n+2}=2R+\frac{1}{1/R+1/R_{n+1}}$

$R_{n+1}$ enthält also den Term $R_n$ und $R_{n+2}$ den Term $R_{n+1}$.

Das ist aber kein Problem, wenn wir können die Rekursion ja einfach nochmal anwenden und erhalten:

$R_{n+2}=2R+\dfrac{1}{\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{2R+\frac{1}{1/R+1/R_n}}}$

Hier wurde $R_{n+1}$ durch den entsprechenden Ausdruck ersetzt.

Und jetzt kannst du probieren

$2R+\frac{1}{1/R+1/R_n}>2R+\dfrac{1}{\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{2R+\frac{1}{1/R+1/R_n}}}$

zu zeigen.

Ich habe das jetzt noch nicht selber ausgerechnet.
Mir ist gerade nicht ganz klar, wie die Induktionsvoraussetzung benutzt wird.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-10



Ich habe das jetzt noch nicht selber ausgerechnet.
Mir ist gerade nicht ganz klar, wie die Induktionsvoraussetzung benutzt wird.

Bevor du jetzt anfängst wild rumzurechnen, aber man braucht dieses umschreiben gar nicht so ausführlich.

Du kannst auch schon mit dem Term arbeiten, der noch $R_{n+1}$ enthält und hier kommt dann die Induktionsvoraussetzung zum Einsatz.

Damit ist es dann auch ganz leicht die Ungleichung zu zeigen.



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Dreadwar
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Dabei seit: 19.04.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-10


Danke für den Tipp, ich habe natürlich angefang wild rumzurechnen... ich glaube ich habs raus:

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Ich danke dir!

Aber wie zeige ich jetzt, dass die Folge beschränkt ist?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-10


Du kannst die Rechnung entscheidend verkürzen, wenn du elementare Rechenregeln für Ungleichungen benutzt.


So gilt ja etwa $a<b\Leftrightarrow \frac1a>\frac1b$ (für $a,b\neq 0$)

So musst du nicht so viel rechnen.

Dann hast du:

$2R+\frac{1}{1/R+1/R_n}>2R+\frac{1}{1/R+1/R_{n+1}}\Leftrightarrow\frac{1}{1/R+1/R_n}>\frac{1}{1/R+1/R_{n+1}}$

$\Leftrightarrow 1/R+1/R_{n}<1/R+1/R_{n+1}\Leftrightarrow 1/R_n<1/R_{n+1}\Leftrightarrow R_n>R_{n+1}$




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Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-10


Alles klar, das macht Sinn, danke dafür.

Hast du eine Ahnung wie ich jetzt zeigen kann, dass die Folge durch 2R nach unten beschränkt ist?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-10


Dass diese Folge durch $2R$ nach unten beschränkt ist, ist klar, denn

$3R\geq R_n> 2R$ für alle $n\in\mathbb{N}$. Denn

$R_{n+1}=2R+\underbrace{\frac{1}{\frac1R+\frac1{R_n}}}_{>0}$

$3R\geq R_n$ gilt, weil die Folge ja monoton fällt.

Und $R_n\geq 2R$ gilt nach rekursiver Definition der Folge.

Salopp: Wir berechnen $R_n$ (für $n\geq 2$) indem wir $2R$ nehmen und 'ein bisschen' addieren.



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Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-10


okay alles klar, ich danke dir vielmals!  


Gute Nacht und liebe Grüße!



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Dreadwar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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