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Strukturen und Algebra » Gruppen » Gruppenhomomorphismen
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Universität/Hochschule Gruppenhomomorphismen
Silenus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-14


Hi, ich hab da ein kleines Problem:

fed-Code einblenden
(Gezeigt wurde bereits, dass fed-Code einblenden eine Gruppe und fed-Code einblenden Gruppenhomomorphismen sind.)

Aufgabe: Zeigen Sie, dass es genau einen Gruppenhomomorphismus fed-Code einblenden gibt, der diese Anforderungen erfüllt. Tipp: Zeigen Sie zunächst, dass es höchstens einen solchen Gruppenhomomorphismus fed-Code einblenden geben kann.
Das einzige, was ich bereits herausgefunden hab, das mir bedeutend erscheint, ist fed-Code einblenden . Ansonsten weiß ich nicht, wie ich die Aufgabe angehen soll (auch mit dem Tipp kann ich nichts anfangen). Kann dieser einzige Gruppenhomomorphismus vielleicht konkret als Funktion angegeben werden? Ich wäre dankbar für jegliche Art von Denkanstößen!
Gruß, Silenus



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-14

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2019-11-14 20:59 - Silenus im Themenstart schreibt:
Hi, ich hab da ein kleines Problem:

fed-Code einblenden
(Gezeigt wurde bereits, dass fed-Code einblenden eine Gruppe und fed-Code einblenden Gruppenhomomorphismen sind.)

Aufgabe: Zeigen Sie, dass es genau einen Gruppenhomomorphismus fed-Code einblenden gibt, der diese Anforderungen erfüllt. Tipp: Zeigen Sie zunächst, dass es höchstens einen solchen Gruppenhomomorphismus fed-Code einblenden geben kann.
Das einzige, was ich bereits herausgefunden hab, das mir bedeutend erscheint, ist fed-Code einblenden . Ansonsten weiß ich nicht, wie ich die Aufgabe angehen soll (auch mit dem Tipp kann ich nichts anfangen). Kann dieser einzige Gruppenhomomorphismus vielleicht konkret als Funktion angegeben werden? Ich wäre dankbar für jegliche Art von Denkanstößen!
Gruß, Silenus

Hallo Silenus.
Man nennt das auch - falls du mehr darüber lernen willst -  "die Universelle Eigenschaft des Produkts" was man euch sicher nicht verraten hat. Die Aufgabenstellung ist nicht richtig formuliert:
Es muss hervorgehoben werden, dass es genau einen Homomorphismus $\chi$ gibt, der diese Bedingung für alle Gruppen $I$ und alle Homomorphismen $\arr{I}{\psi_1}{G_1},\arr{I}{\psi_2}{G_2}$ gilt, nicht nur für ein solches Paar.

EDIT


Ich habe hier einen Denkfehler gehabt und Unsinn geschrieben.
Das Produkt ist durch die Eigenschaft eindeutig charakterisiert (bis auf Isomorphie) dass es für jedes Paar $I,\psi_i$ genau einen Homomorphismus $\chi$ mit obigen Eigenschaften gibt.

Die Aussage die ich oben hingeschrieben habe, dass es ein $\chi$ gibt, welches für alle $I,\psi_i$ funktioniert ist falsch. Die Aufgabe ist so wie sie gestellt ist also schon richtig. Tut mir Leid für die Verwirrung. Danke Ligning für die Korrektur.


Eigentlich hast du gar keine Wahl, der Beweis ist schon erzwungen.
Es muss $\varphi_i(\chi(x))=\psi_i(x)$ gelten. Sei also $\chi(x)=(g_1,g_2)$. Dann gilt $g_1=\psi_1(x)$ und $g_2=\psi_2(x)$.

Jetzt ist also klar, wie man $\chi$ konstruieren muss. Der Rest ist Rechnerei.



-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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Silenus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-15 14:07


Danke für deine Antwort! Ist der gesuchte Homomorphismus also für alle x in I fed-Code einblenden ? Davon ausgehend habe ich dann fed-Code einblenden für alle x, y in I und damit die Homomorphie gezeigt.





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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-15 15:40

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2019-11-15 14:07 - Silenus in Beitrag No. 2 schreibt:
Danke für deine Antwort! Ist der gesuchte Homomorphismus also für alle x in I fed-Code einblenden ? Davon ausgehend habe ich dann fed-Code einblenden für alle x, y in I und damit die Homomorphie gezeigt.



Ja, so ist der definiert. Du kannst dir das auch alles erstmal für Mengen klar machen, also einfach vergessen, dass es eine Gruppenstruktur gibt und Homomorphismen durch Abbildungen ersetzen.
Das Produkt von Mengen erfüllt die gleiche Eigenschaft.
Dass es sich um einen Homomorphismus handelt folgt sofort aus den Voraussetzungen und der Definition von $\chi$, nämlich daraus, dass $\psi_i$ Homomorphismen sind und aus der Multiplikation in $G_1\tm G_2$.
Auch alle anderen Eigenschaften sind sofort klar.
Ich hoffe du kannst dein Problem jetzt lösen, sonst schreib gerne, wenn noch etwas unklar ist.

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