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Strukturen und Algebra » Gruppen » Bahnen, symmetrische Gruppe
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Universität/Hochschule Bahnen, symmetrische Gruppe
erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-17 18:49


Hallo,

wir haben diese Woche den Begriff der Bahn eingeführt. Leider war ich krank und arbeite deshalb noch einiges nach. Dadurch habe ich einige Probleme mit einer Aufgabe auf dem neuen Übungszettel und würde mich über Hinweise freuen. Die Aufgabe:

fed-Code einblenden

Hierzu habe ich nun erstmal zwei Fragen:
1) Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Menge G richtig verstehe. Die Symmetrische Gruppe ist die Menge aller Permutationen der Zahlen von 1 bis n. Heißt dies nun, dass G als Teilmenge der Symmetrische Gruppe die Menge aller Permutationen sind, sodass die Tupel (1,2,3) und (4,5) immer zusammen bleiben? Dann würde ich für die Mächtigkeit von G auf 24 kommen.
2) Ich bin mir nicht sicher ob ich den Begriff der Bahn richtig verstehe. Wenn ich eine Gruppe (G,+) (wobei + eine Operation ist) und eine Menge M habe. Dann ist die Bahn von m aus M unter G, die Menge aller Elemente aus M die ich durch die Verknüfung + eines Elementes aus G mit m erzeugen kann oder?



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17 21:10


Ich versuche mich mal etwas genauer auszudrücken:

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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-17 21:48


$G$ ist die von den Permutationen $(1\ 2\ 3)$ und $(4\ 5)$ erzeugte Untergruppe von $S_5$. Sie hat deutlich weniger als 24 Elemente.

Ich weiß leider nicht, was $B_5$ ist, und kann dazu nichts sagen.




-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17 22:07


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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17 22:12


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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-17 22:25


Ich hab dir bei deinem letzten Thread einen Link zur Zyklenschreibweise von Permutationen gegeben. Den solltest du dir durchlesen.



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17 22:54


Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Zykelschreibweise richtig verstehe.
Angenommen man fängt mit an mit

(1,2,3,4,5), dann verstehe ich die Zykelschreibweise so, dass folgende Reihenfolgen erzeugt werden:

(1,2,3,4,5)
(3,1,2,5,4)
(2,3,1,4,5)
(1,2,3,5,4)
(3,1,2,4,5)
(2,3,1,5,4)
(1,2,3,4,5)

Im 6. Durchlauf ist man wieder am Anfang angekommen, d.h. G müsste Mächtigkeit 5 haben. Tut mir Leid, dass ich hier so langsam bin aber Algebra ist bei mir sehr lange her und Zyklenschreibweise kam nur einmal kurz vor.



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-18 00:30


Ein Nachtrag zu meinem letzten Post. Dort bin ich von der Anfangsreihenfolge (1,2,3,4,5) ausgegangen. Allerdings liegen noch viele andere in $S_5$ z.B. (2,4,5,1,3) und wenn ich nun auf jede von diesen die Permutation anwende erhalte ich natürlich auch jedes Element aus $S_5$.

Dies kann natürlich nicht sein.
Könntest du mir also bitte noch einmal erläutern, was genau du mit erzeugen durch Permutation meinst?



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-18 06:51


Hallo,

bevor es weiter um die Aufgabe geht, solltest du verstehen, was die Zykelschreibe ist und wie sie funktioniert. Man setzt dort im Übrigen eigentlich keine Kommata.
So ist zum Beispiel in der Zykelschreibweise $(1 2 3)(4 5)$ das Gleiche wie $(1 2 3)(5 4)$ und auch das Gleiche wie $(3 1 2)(4 5)$ das scheinst du aber oben bei deiner Gruppenbeschreibung als verschieden anzusehen.
Schau dir den Link von Ligning noch mal an. $(1 2 3) (4 5)$ entspricht der Abbildung: $1\mapsto 2$, $2\mapsto 3$, $3\mapsto 1$ und $4\mapsto 5)$ und $5\mapsto 4$. Beitrag 6 ist für mich nicht nachvollziehbar.

Wenn $G=<(1 2 3)(4)(5) , (1)(2)(3),(4 5)> = <(1 2 3), (4 5)>$ ist, dann meint man damit per Definition die kleinste Untergruppe von $S_5$, die die Elemente (1 2 3) und (4 5) enthält. Man kann dann zeigen, dass dies das gleiche ist, wie alle beliebigen endlichen Kombinationen von (1 2 3) und (4 5). Da die beiden aber kommutieren, entspricht $G=\{\sigma^i \tau^j\mid i,j\in\mathbb{N}\}$ und $\sigma=(1 2 3)\in S_5$ und $\tau= (4 5)\in S_5$. Daran erkennt man auch direkt, wie viele Elemente $G$ hat.

Kannst du auch noch dazuschreiben, was das 2-Level sein soll?
Beste Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-18 12:18


Hallo Creasy,

vielen Dank für deine Antwort! Ich hatte die Permutation so verstanden, wie du gesagt hast: 1->2, 2->3, 3->1, 4->5, 5->4.
Was ich nicht verstehe, ist der Ausdruck "durch Permutation erzeugte Untergruppe". Ist damit einfach nur gemeint, ich nehme mir die Menge {1,2,3,4,5} und schreibe sie auch in dieser Reihenfolge und dann sind in der Gruppe G alle Permutationen die durch 1->2, 2->3, 3->1, 4->5 , 5->4 entstehen? Ich hätte mir das wie auf dieser Abbildung hier vorgestellt:
de.wikipedia.org/wiki/Symmetrische_Gruppe#/media/Datei:Symmetric_group_4;_Cayley_graph_4,9.svg
Nur, dass ich anstatt aller Permutationen eben nur die nehme die durch das Permutieren von (1,2,3,4,5) in der von dir beschriebenen Form entstehen.




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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-18 12:58


Das 2-Level verstehe ich so, dass wenn man das Hasse-Diagramm aufstellt, stünde ganz unten die leere Menge, auf Level 1 würde {1},{2},{3},{4},{5} stehen und auf dem 2-Level alle zweier Tupel also:
{1,2};{1,3};{1,4};{1,5};{2,3};{2,4};{2,5};{3,4};{3,5};{4,5}



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-18 13:05


Ich habe mir nochmal Beispiele zur Zyklenschreibweise angeschaut und ich hatte es vollkommen falsch verstanden (tut mir Leid). Nun glaube ich langsam eine Idee zu bekommen, allerdings verstehe ich auch in dem Beispiel nicht alles:
g := (2, 5, 3, 4, 1)

(2, 5, 3, 4, 1) = g1,
(5, 1, 3, 4, 2) = g2,
(1, 2, 4, 3, 5) = g3,
(2, 5, 3, 4, 1) = g4,
(5, 1, 4, 3, 2) = g5,
(1, 2, 3, 4, 5) = g6.

Hier kann ich nachvollziehen was mit 1,2,5 passiert (zumindest glaube ich das). Aber warum tauschen 3 und 4 die Plätze. Ich hätte es so verstanden, dass die 3 immer an Position 3 bleibt und die 4 immer an Position .



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-11-18 14:19


2019-11-18 12:18 - erik92 in Beitrag No. 9 schreibt:

Was ich nicht verstehe, ist der Ausdruck "durch Permutation erzeugte Untergruppe".

Das ist viel elementarer, hat nichts mit Permutationen und Bahnen zu tun.

Siehe etwa:

mathepedia.de/Erzeugte_Untergruppen.html

In der Aufgabenstellung war übrigens nicht von einer durch eine Permutation erzeugten Untergruppe die Rede. G wird dort von 2 Elementen erzeugt.



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-18 14:27


Ich habe mich eben nochmal mit einem Kommilitonen ausgetauscht und wir kommen beide für G auf:

G={(123)(45);(312)(54);(231)(45);(123)(54);(312)(45);(231)(54)}

Ich hatte es hier aber so verstanden, als sei dies falsch.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-11-18 14:36


Ja, das ist auch nicht ganz richtig, sie hat zu wenig Elemente, es ist übrigends egal, ob du $(4\,5)$ oder $(5\,4)$ schreibst. Bei dir steht in $G$ sechs mal das gleiche Element.

Sei $g:=(1\, 2\, 3)(4\,5)$. Was ist dann $g^2$?



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-18 14:53


Ich denke (312)(54), sicher bin ich mir aber gerade bei gar nichts mehr...



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-11-18 15:00


Du hast nochmal genau die gleiche Permutation $g$ hingeschrieben. Bitte mach dich mit der Zyklenschreibweise vertraut, das bringt sonst alles nichts.



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-18 15:15


(231) hatte nen Denkfehler sorry.



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-11-18 15:24


Immer noch falsch.



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-18 15:26


okay ich geb auf



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2019-11-19 14:07


Auflösung (ich leite das allerdings nicht von Adam und Eva ab):

\(G\) sei die von \(\{(1 2 3), (4 5)\}\) in \(S_5\) erzeugte Untergruppe.

Nun ist \((1 2 3)(1 2 3) = (1 3 2)\) und \((1 3 2)(1 2 3) = (1)\). d.h. \(a =(1 2 3)\) erzeugt eine zyklische Gruppe der Ordnung \(3\).

Ähnlich erzeugt \(b = (4 5)\) eine zyklische Gruppe der Ordnung \(2\).

Außerdem sind \(a,b\) vertauschbar, wie man nachrechnet. Allgemein gilt der Satz, dass elementfremde Zyklen immer vertauschbar sind.

Damit ist \(G\) zyklisch von Ordnung \(6\) und wird von \(ab\) erzeugt.





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erik92 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
erik92 hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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