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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Polynome » Beweis: Irreduzibilität bei Komposition von Polynomen
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Universität/Hochschule J Beweis: Irreduzibilität bei Komposition von Polynomen
IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-17


Hallo,

könnt Ihr bitte mal schauen, ob meine Vermutung und mein Beweis jetzt richtig und korrekt formuliert sind?

Wie kann man beide noch verbessern?

Ich bin kein Mathematiker und kein Student.


Vermutung:
Sei $P(X,Y)\in\overline{\mathbb{Q}}[X,Y]\setminus(\overline{\mathbb{Q}}[X]\cup\overline{\mathbb{Q}}[Y])$.
Seien $x,y\in\mathbb{C}$.
Wenn $P(x,y)$ über $\overline{\mathbb{Q}}$ irreduzibel ist, dann existieren ein nicht konstantes $r(X)\in\overline{\mathbb{Q}}[X]$ und ein $P_1(X,Y)\in\overline{\mathbb{Q}}[X,Y]\setminus(\overline{\mathbb{Q}}[X]\cup\overline{\mathbb{Q}}[Y])$ mit $P(x,y)=P_1(r(x),y)$ so dass $P_1(x,y)$ über $\overline{\mathbb{Q}}$ irreduzibel ist.

Beweis:
Wenn $P_1(x,y)$ über $\overline{\mathbb{Q}}$ reduzibel ist, dann existieren nicht konstante $R(X,Y),S(X,Y)\in\overline{\mathbb{Q}}[X,Y]$ mit $P_1(x,y)=R(x,y)\cdot S(x,y)$. Durch Einsetzen ergibt sich $P_1(r(x),y)=R(r(x),y)\cdot S(r(x),y)$. Da laut Voraussetzung $P(x,y)=P_1(r(x),y)$ ist, ergibt sich $P(x,y)=P_1(r(x),y)=R(r(x),y)\cdot S(r(x),y)$. Und weil $r(x),R(x,y),S(x,y)$ nicht konstant sind, sind $R(r(x),y),S(r(x),y)$ nicht konstant. Damit ergibt sich, dass $P(x,y)$ über $\overline{\mathbb{Q}}$ reduzibel ist.
Wenn nun $P(x,y)$ über $\overline{\mathbb{Q}}$ irreduzibel ist, dann kann $P_1(x,y)$ nicht über $\overline{\mathbb{Q}}$ reduzibel sein, da ja dann wie eben festgestellt $P(x,y)$ über $\overline{\mathbb{Q}}$ reduzibel sein müsste. Also muss $P_1(x,y)$ über $\overline{\mathbb{Q}}$ irreduzibel sein.
$\square$

Vielen, vielen Dank.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-17


Der Beweis fängt bereits falsch an. Du gehst von $P_1$ aus, aber die Existenz von $P_1$ ist zu zeigen.

Der Satz ist übrigens trivial. Setze einfach $r = X$ und $P_1 = P$.

(Und der Satz ist falsch, wenn du mehr Anforderungen an $r$ wie etwa $\mathrm{deg}(r)>1$ stellst.)



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17


Oh ja, stimmt. Danke.



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