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    Mathematik » Numerik & Optimierung » Nichttriviale Seitenflächen von "reduzierten" Polyedern    		Druckversion
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    Autor
    Universität/Hochschule Nichttriviale Seitenflächen von "reduzierten" Polyedern
    Pathygoras
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-19 16:22


    Hallo zusammen,

    ich möchte/soll folgendes beweisen:

    Sei \(P(A, b)\) ein volldimensionales Polyeder mit der Indexmenge \(M=\{1,...,m\}\), \(A\in R^{mxn}\), \(b\in R^m\) und sei \( \tilde{P}=P(A_{M \setminus \{i\}}, b_{M \setminus\{i\}}) \)

    Z.z: \(P \neq \tilde{P} \Leftrightarrow \) \(\exists\) eine nichttriviale Seitenfläche \(F \subseteq P\) mit EqualitySet(\(F\))=\(\{i\}\)

    Leider komme ich weder für die eine, noch für die andere Richtung auf einen Ansatz.
    Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben :)
    Danke schon mal

    Pathygoras

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    ochen
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-20 11:46


    Hallo,

    ich verstehe die rechte Seite von dem Äquvalenzpfeil nicht. Bei $\tilde{P}$ ist einfach nur die $i$-te Ungleichungsrestriktion weggestrichen. Falls die beiden Polytope immernoch die gleichen sind (also $P=\tilde{P}$ gilt), so ist diese Ungleichungsrestriktion bedeutungslos. Das heißt also, dass das gesamte Polytop in dem Halbraum $\{x\mid \langle a_i,x\rangle \leq b_i\}$ liegt.

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    Pathygoras
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 13:31


    2019-11-20 11:46 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
    Hallo,

    ich verstehe die rechte Seite von dem Äquvalenzpfeil nicht. Bei $\tilde{P}$ ist einfach nur die $i$-te Ungleichungsrestriktion weggestrichen. Falls die beiden Polytope immernoch die gleichen sind (also $P=\tilde{P}$ gilt), so ist diese Ungleichungsrestriktion bedeutungslos. Das heißt also, dass das gesamte Polytop in dem Halbraum $\{x\mid \langle a_i,x\rangle \leq b_i\}$ liegt.

    Hi,

    in der Äquivalenz hatte sich ein Fehler eingeschlichen, ich habe diesen behoben.

    Leider verstehe ich noch nicht, inwiefern eine redundante i-te Ungleichung die Existenz einer Seitenfläche mit \(eq(F)=\{i\}\) induziert und andersrum.

    Wir haben noch einen Tipp bekommen, über die Existenz eines relativ inneren Punktes der Seitenfläche \(fa(i\) zu gehen.
    VG

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    ochen
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-20 14:10


    Ist dir $P\subseteq \tilde{P}\cap \{x\mid \langle a_i,x\rangle \leq b_i\}$ klar? Gilt auch die umgekehrte Inklusion?

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    Pathygoras
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 20:10


    2019-11-20 14:10 - ochen in Beitrag No. 3 schreibt:
    Ist dir $P\subseteq \tilde{P}\cap \{x\mid \langle a_i,x\rangle \leq b_i\}$ klar?
    Ja das verstehe ich. Wenn wir \(\tilde{P}\) mit der i-ten Ungleichung weiter restringieren, landen wir bei \(P\)

    Gilt auch die umgekehrte Inklusion?
    Ich würde sagen nein, bzw nur, wenn die i-te Ungleichung redundant ist

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    Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
    Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
    ochen
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-21 15:11


    2019-11-20 20:10 - Pathygoras in Beitrag No. 4 schreibt:
    2019-11-20 14:10 - ochen in Beitrag No. 3 schreibt:
    Ist dir $P\subseteq \tilde{P}\cap \{x\mid \langle a_i,x\rangle \leq b_i\}$ klar?
    Ja das verstehe ich. Wenn wir \(\tilde{P}\) mit der i-ten Ungleichung weiter restringieren, landen wir bei \(P\)

    Gilt auch die umgekehrte Inklusion?
    Ich würde sagen nein, bzw nur, wenn die i-te Ungleichung redundant ist

    Warum sollte $P\supseteq \tilde{P}\cap \{x\mid \langle a_i,x\rangle \leq b_i\}$ nicht gelten? Kannst du ein Gegenbeispiel angeben?

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