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 Nichttriviale Seitenflächen von "reduzierten" Polyedern |
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Pathygoras
Junior 
Dabei seit: 03.11.2019
Mitteilungen: 5
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Hallo zusammen,
ich möchte/soll folgendes beweisen:
Sei \(P(A, b)\) ein volldimensionales Polyeder mit der Indexmenge \(M=\{1,...,m\}\), \(A\in R^{mxn}\), \(b\in R^m\) und sei \( \tilde{P}=P(A_{M \setminus \{i\}}, b_{M \setminus\{i\}}) \)
Z.z: \(P \neq \tilde{P} \Leftrightarrow \) \(\exists\) eine nichttriviale Seitenfläche \(F \subseteq P\) mit EqualitySet(\(F\))=\(\{i\}\)
Leider komme ich weder für die eine, noch für die andere Richtung auf einen Ansatz.
Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben :)
Danke schon mal
Pathygoras
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ochen
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-20
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Hallo,
ich verstehe die rechte Seite von dem Äquvalenzpfeil nicht. Bei $\tilde{P}$ ist einfach nur die $i$-te Ungleichungsrestriktion weggestrichen. Falls die beiden Polytope immernoch die gleichen sind (also $P=\tilde{P}$ gilt), so ist diese Ungleichungsrestriktion bedeutungslos. Das heißt also, dass das gesamte Polytop in dem Halbraum $\{x\mid \langle a_i,x\rangle \leq b_i\}$ liegt.
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Pathygoras
Junior
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20
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2019-11-20 11:46 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,
ich verstehe die rechte Seite von dem Äquvalenzpfeil nicht. Bei $\tilde{P}$ ist einfach nur die $i$-te Ungleichungsrestriktion weggestrichen. Falls die beiden Polytope immernoch die gleichen sind (also $P=\tilde{P}$ gilt), so ist diese Ungleichungsrestriktion bedeutungslos. Das heißt also, dass das gesamte Polytop in dem Halbraum $\{x\mid \langle a_i,x\rangle \leq b_i\}$ liegt.
Hi,
in der Äquivalenz hatte sich ein Fehler eingeschlichen, ich habe diesen behoben.
Leider verstehe ich noch nicht, inwiefern eine redundante i-te Ungleichung die Existenz einer Seitenfläche mit \(eq(F)=\{i\}\) induziert und andersrum.
Wir haben noch einen Tipp bekommen, über die Existenz eines relativ inneren Punktes der Seitenfläche \(fa(i\) zu gehen.
VG
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ochen
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| Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-20
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Ist dir $P\subseteq \tilde{P}\cap \{x\mid \langle a_i,x\rangle \leq b_i\}$ klar? Gilt auch die umgekehrte Inklusion?
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Pathygoras
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20
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2019-11-20 14:10 - ochen in Beitrag No. 3 schreibt: Ist dir $P\subseteq \tilde{P}\cap \{x\mid \langle a_i,x\rangle \leq b_i\}$ klar? Ja das verstehe ich. Wenn wir \(\tilde{P}\) mit der i-ten Ungleichung weiter restringieren, landen wir bei \(P\)
Gilt auch die umgekehrte Inklusion?
Ich würde sagen nein, bzw nur, wenn die i-te Ungleichung redundant ist
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Link | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
ochen
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| Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-21
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2019-11-20 20:10 - Pathygoras in Beitrag No. 4 schreibt:
2019-11-20 14:10 - ochen in Beitrag No. 3 schreibt: Ist dir $P\subseteq \tilde{P}\cap \{x\mid \langle a_i,x\rangle \leq b_i\}$ klar? Ja das verstehe ich. Wenn wir \(\tilde{P}\) mit der i-ten Ungleichung weiter restringieren, landen wir bei \(P\)
Gilt auch die umgekehrte Inklusion?
Ich würde sagen nein, bzw nur, wenn die i-te Ungleichung redundant ist
Warum sollte $P\supseteq \tilde{P}\cap \{x\mid \langle a_i,x\rangle \leq b_i\}$ nicht gelten? Kannst du ein Gegenbeispiel angeben?
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