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    Moderiert von Wauzi
    Mathematik » Zahlentheorie » Beweis zur Anzahl von Primteilern einer Zahl    		Druckversion
    Druckversion
    Autor
    Universität/Hochschule J Beweis zur Anzahl von Primteilern einer Zahl
    katharinax3
    Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
    Dabei seit: 26.10.2019
    Mitteilungen: 14
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-19 18:09


    Hallo,

    auf einem Übungsblatt in Zahlentheorie hatten wir letzte Woche eine Beweisaufgabe, die leider selbst unser Tutor nicht vollständig erklären konnte. Ich hoffe dass es hier womöglich jemanden gibt der mir helfen kann, sie zu verstehen! :)

    Die Aufgabe bestand aus vielen Unteraufgaben, die einzelne Schritte im Beweis darstellten, und die gut lösbar waren. Die Frage bezieht sich auf den folgenden Schritt.

    Bezeichne
    \[
        T(n) = \left| \lbrace p\:\text{prim} : p\mid n \rbrace \right|
    \] die Anzahl der Primteiler einer Zahl $n$, und
    \[
        \overline{T_N} = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} T(n)
    \] die durchschnittliche Anzahl von Primteilern bis zur Zahl $N$. (Davon wird viel später im Beweis der Grenzwert $N \rightarrow \infty$ ermittelt)

    Nun sollte in dem Schritt folgendes gezeigt werden:
    \[
       \big\lbrace n : \left| \frac{T(n)}{\log\log n} -1\right| > \epsilon\big\rbrace \subseteq \lbrace n : \left| \frac{T(n)}{\overline{T_N}} -1\right| > \frac{\epsilon}{3}\rbrace \cup \lbrace n : \left| \frac{\overline{T_N}}{\log\log n} -1\right| > \frac{\epsilon}{3}\rbrace
    \]
    Dazu sollte folgendes verwendet werden, was in einem vorherigen Schritt bewiesen wurde:

    Seien $\alpha > 0$, $\beta > 0$ und $0 < \delta < 1$ reelle Zahlen mit $\left|\alpha - 1\right| \leq \delta$ und $\left|\beta - 1\right| \leq
     \delta$. Dann gilt:
    \[
    \left|\alpha\beta -1 \right| \leq 3\delta
    \]
    Ich hoffe mir kann jemand helfen :) Unser Tutor ist leider wirklich nicht der beste und ist aufgeschmissen wenn er (wie jetzt) keine Musterlösungen für Aufgaben bekommt.

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    Triceratops
    Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
    Dabei seit: 28.04.2016
    Mitteilungen: 4113
    Aus: Berlin
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-19 18:23


    Zeige die Kontraposition: Sei $\left| \frac{T(n)}{\overline{T_N}}-1 \right| \leq \frac{\varepsilon}{3}$ und $\left| \frac{\overline{T_N}}{\log(\log(n))}-1 \right| \leq \frac{\varepsilon}{3}$. Aus dem Lemma folgt dann $\left | \frac{T(n)}{\overline{T_N}} \cdot \frac{\overline{T_N}}{\log(\log(n))} -1 \right| \leq \varepsilon$. Jetzt kürzt man $\overline{T_N}$ und ist fertig.

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    katharinax3
    Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
    Dabei seit: 26.10.2019
    Mitteilungen: 14
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 18:33


    Hallo!

    Wie meinst du Kontraposition bei einer Mengengleichung?

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    katharinax3 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
    katharinax3 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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