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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Integration » Trigonometrische Beziehung in Integral
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Universität/Hochschule J Trigonometrische Beziehung in Integral
farmer810
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-21 11:13


Grüß euch!

Versuche mich auf eine Prüfung vorzubereiten und da ist ein Integral, wo ich einfach nicht auf den nächsten Schritt komme, der aber gegeben ist. Ich würde es aber gerne verstehen, sonst bringt sichs ja nichts...

Das zu lösende Integral hat folgende Darstellung:
fed-Code einblenden

Der nächste Schritt wäre dann folgender, auf den ich leider nicht komme ...
fed-Code einblenden

Vielen Dank im Voraus!



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2312
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-21 12:14

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo farmer810,

ich habe auch eine Weile gebraucht, aber es ist einfacher als es aussieht.

Verwenden wir mal (so wie bei Wikipedia) die Abkürzung \(t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)\). Dann gelten ja (siehe dort):

\[\ba
\sin x&=\frac{2t}{1+t^2}\\
\\
\cos x&=\frac{1-t^2}{1+t^2}
\ea\]
Wenn man weiter noch die Beziehung

\[\tan^2x+1=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x\]
benützt, dann ist es ein wenig Bruchrechnerei, aber mehr als vier Zeilen sollte man nicht benötigen.  smile


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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farmer810
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Mitteilungen: 10
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21 12:53


Grüß dich!

Ahhh ich hab t nicht gleich tan(x/2) gesetzt, die Beziehungen von tan^2(x) habe ich bereits gewusst, aber vielen dank für die rasche Antwort!

Werde es am Abend versuchen und falls ich es dennoch nicht schaffe, werde ich mich nochmals melden (was ich nicht hoffe).

Gruß und Dank!



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-21 18:50


Huhu farmer810,

ich nehme an, du hast dein Integral hier eingegeben und den Rechenweg anzeigen lassen. Du brauchst diese Umformung überhaupt nicht, sondern kannst direkt \(t:=\tan\left(\frac{x}{2}\right)\) substituieren. Das ist die Generalsubstitution bei trigonometrischen Integranden. Es ergibt sich:

\(\displaystyle \int \frac{\dd x}{3\sin x +4 \cos x +5}=\int\frac{2\, \dd t}{\left(3\cdot \frac{2t}{1+t^2}+4\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}+5\right)(1+t^2)}=\int \frac{2\, \dd t}{(t+3)^2}\)

Es erscheint mir jedenfalls sinnlos sich über die "Abkürzung" \(t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)\) den Integranden so wie er dort steht herzuleiten und anschließend die Substitution durchzuführen.

Gruß,

Küstenkind



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-21 18:56


Guten Abend Kuestenkind,

danke für diese Ergänzung. Ich hatte mir einfach nur darüber Gedanken gemacht, wie die Umformung funktioniert. Aber wenn man es vom Standpunkt der Integration aus ansieht, ist deine Variante natürlich effektiver.


Gruß, Diophant



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farmer810
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21 19:43


Grüß dich Kuestenkind,

danke für deine Antwort. Meine Angabe oben ist ein Beispiel mit gegebenen Hinweis, wie der erste Schritt des Integrals aussehen kann. Nur mir war nicht klar, wie ich nun auf diese Vereinfachung komme, aber ich verstehe was du meinst.

Vielen dank dafür!

Grüße



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