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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » Integrierender Faktor u(x,y)
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Universität/Hochschule J Integrierender Faktor u(x,y)
steluc10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-24


Guten Abend!

Ich sitze gerade an folgendem Beispiel:
\(y'= \frac {y} {x+x^2+y^2}\)

Thema der Übung sind aktuell integrierende Faktoren, aber in meinen Unterlagen kann ich nur etwas dazu finden wenn der iF u(x,y) nur von x oder nur von y abhängt. In diesem Beispiel komme ich damit aber nicht weiter und auch mit der DGL \(-2(x+1)*u=u_x (x+x^2+y^2) + u_y * y\) kann ich nicht viel anfangen. Wie geht man hierbei vor?



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-24


Huhu steluc10,

für die DGL \(-y \, \dd x +(x+x^2+y^2) \,\dd y=0 \) ist \(\frac{1}{x^2+y^2}\) ein integrierender Faktor. Ich wünsche noch einen schönen Abend!

Gruß,

Küstenkind



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steluc10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-24


Hallo und danke für die Antwort :)
Wie kommt man hierbei auf die Lösung?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-25


Hallo steluc10,

wenn man u(x) und u(y) probiert hat, liegt es nahe, Funktionen von x,y als Argument zu verwenden, zB u(x+y) oder u(xy) etc. Dabei wird man ggf. auch drauf kommen, Ansätze wie u(x^2+y^2) einzubeziehen, wenn entsprechende Terme  in der DGL vorkommen. Das ist aber natürlich alles nur "Raten auf hohem Niveau".

Jedenfalls empfinde ich so Aufgaben eher als "Knobelaufgaben". (Wenn jemand da ein eher standardisiertes Verfahren kennt, wäre ich auch interessiert :) )

Grüße
Gerhard/Gonz


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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-25


allgemeine Verfahren laufen im Allgemeinen auf das Lösen von partiellen Differentialgleichungen hinaus.

Gruß Dietmar  



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-26


Huhu,

ich denke auch, dass die Lösung hier wie gonz beschreibt durch scharfes Hinsehen zu bestimmen ist. Es gibt auch gewisse Hilfssätze, die aber weiterführendes Wissen benötigen, wie dieser:



Wenn du nun also dir berechnen kannst, dass \(\displaystyle \textbf{X}=\xi(x,y)\frac{\partial}{\partial_ x}+\eta(x,y)\frac{\partial}{\partial y}=\frac{x}{y} \partial_x +\partial_y\) hier Generator ist, dann kannst du dir den integrierenden Faktor leicht berechnen.

Hier wäre noch ein Beispiel zu finden: LinkLösungsweg einer GDG

Dort ist der Generator auch vorgegeben. Die DGL dort lässt sich umformen zu \(\displaystyle (u+u^3)\dd x-(x+(x+1)u^2) \dd u=0\). Der integrierende Faktor berechnet sich also dort einfach als \(\frac{1}{u(u+u^3)}=\frac{1}{u^2+u^4}\).

Ob du - steluc10 - davon Ahnung hast, vermag ich zu beurteilen.

Gruß,

Küstenkind



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-28


Hallo Küstenkind,

was muß man denn lernen bzw. wo könnte man anfangen, wenn man so etwas wie dieses Hilfsmittel verstehen will? Ich kann mit der "der DGL zugeordneten Symmetriegruppe" nichts anfangen, aber es klingt so, als ob es eine Richtung wäre, sich weiterzubilden :)

Vielen Dank
Gerhard/Gonz


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Heute: Keine Signatur.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-28


Huhu gonz,

du könntest hier ja mal einen Blick ins Buch werfen. Es gibt auch ein deutsches Werk von Hans Stephani, das ist aber schwer zu bekommen (siehe hier). Sicherlich findest du auch im Netz was zu diesem Thema, z.B. auch von Peter Hydon hier.
Ich habe mich mal ein wenig in die Thematik eingelesen, habe von Differentialgleichungen aber wenig bis keine Ahnung.

Gruß,

Küstenkind



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-29


Danke für die Hinweise :)

Grüße aus dem Harz
Gerhard/Gonz


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