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Strukturen und Algebra » Polynome » n-te Potenz eines Ideals
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Universität/Hochschule n-te Potenz eines Ideals
baschwe31
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-25


Hallo liebe Matroidsgemeinde,

Ich habe diese Woche diese Aufgabe zum bearbeiten erhalten

Sei R = K[X,Y] der Polynomring über einem Körper K. Zeigen Sie, dass I := (X,Y) ⊂ R ein maximales Ideal ist und für jedes n > 0
e_R(I^n) = n + 1.
gilt

Hinweis: Zeigen Sie, dass dim_k I^n/I^(n+1) = n+1. Ferner verwenden Sie den Epimorphismus I^n → I^n/I^(n+1).

Leider komme ich nicht weiter. Mein Problem ist, dass mir nicht ganz klar ist, was die dim_k I^n/I^(n+1) sein soll.
Für eine Antwort oder einen Hinweis wäre ich sehr dankbar
MfG



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-25


Die Idealpotenz $I^n$ ist das $n$-fache Produkt von $I$ mit sich selbst. Es gilt stehts $I^{n+1} \subseteq I^n$. Beides sind $k$-Vektorräume. Also kann man den Quotienten $I^n / I^{n+1}$ bilden. Man kann explizit eine Basis dieses Raumes angeben. Überlege dir dazu, wie eine $k$-Basis von $I^n$ aussieht. Wenn du es richtig machst, wird eine $k$-Basis von $I^{n+1}$ Teil davon sein; eine Basis des Quotienten bekommt man also über das Komplement. Falls du nicht weiterkommst, schau dir kleine Beispiele ($n=3$ etwa) an. Bitte poste noch die Definition von $e_R(-)$, wenn du für die eigentliche Aufgabe auch noch Hilfe benötigst.



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baschwe31
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-25


Vielen Dank für die schnelle und hilfreiche Antwort. Eine allgemeine Basis des k-Vektoraumes I^n (falls I=(x,y) wie in der Aufgabe) wäre doch dann
{x^n,x^(n-1)y,x^(n-2)y^2,...,x^2y^(n-2),xy^(n-1),y^n}? Stimmt das soweit?
Nun ist mir klar dass der Aufspann der Basis des I^n+1 natürlich im Aufspann der Basis des I^n enthalten ist.

Doch ich verstehe nicht was du mit dem Komplement meinst. Wovon genau betrachtest du das Komplement? Meinst du damit K[x,y]\I^n?

MfG



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baschwe31
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-25


Das wäre die Definition von e_R: Es sei M ein endlich erzeugter R-Modul. Mit e_R(M) oder einfach mit e(M) bezeichnen wir die minimale Anzahl der erzeugenden Elementen im RModul M.

LG



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-25


2019-11-25 19:41 - baschwe31 in Beitrag No. 2 schreibt:
Vielen Dank für die schnelle und hilfreiche Antwort. Eine allgemeine Basis des k-Vektoraumes I^n (falls I=(x,y) wie in der Aufgabe) wäre doch dann
{x^n,x^(n-1)y,x^(n-2)y^2,...,x^2y^(n-2),xy^(n-1),y^n}? Stimmt das soweit?

Nein. Zum Beispiel ist $x^{n+1} \in I^n$, aber keine $k$-Linearkombination der von dir genannten Monome.

Aber du hast offenbar schon die richtige Idee. Was du hingeschrieben hast, ist übrigens eine Basis von $I^n / I^{n+1}$.


Nun ist mir klar dass der Aufspann der Basis des I^n+1 natürlich im Aufspann der Basis des I^n enthalten ist.

Man braucht, dass die Basis von $I^{n+1}$ in der Basis von $I^n$ enthalten ist. Das wirst du sehen bzw. prüfen können, sobald du die richtigen Basen hast.


Doch ich verstehe nicht was du mit dem Komplement meinst.

Sei $U$ ein Unterraum eines Vektorraumes $V$. Sei $B$ eine Basis von $V$. Sei $C$ eine Basis von $U$. Angenommen, $C \subseteq B$. Dann ist das Komplement $B \setminus C$ (bzw. die Restklassen davon) eine Basis von $V / U$. (So beweist man ja dann auch die Dimensionsformel $\dim(V/U) + \dim(U) = \dim(V)$.)



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baschwe31
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-26


Hallo,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Ich komme aber leider auf die korrekte Basis. In unserem Skript haben wir für das Produkt zweier Ideale folgendes definiert:

Das Produkt I ·J ist das Ideal in R welches von allen Produkten xy (x ∈ I,y ∈ J) erzeugt wird.

Dann hätte ich doch für n=2 die Basis {x^2,xy,y^2} oder?

Lg



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-26


Es wird als R-Modul davon erzeugt, aber nicht als k-Modul.



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