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Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » homogene DGL 1. Ordnung mit Lösungsfunktion lösen
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Universität/Hochschule J homogene DGL 1. Ordnung mit Lösungsfunktion lösen
maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Das homogene DGL-System 1. Ordnung soll gelöst werden:
\(y'_1=-2y_1-3y_2\)
\(y'_2=1y_1-3y_2\)


Die Lösungsfunktionen von \(y_{1/2}\) lauten:
\(y(x)=C_1*e^{ax}+C_2*e^{bx}\)
\(C_1,C_2,a,b\in\mathbb{R}\)
oder
\(e^{ax}*[C_1*cos(bx)+C_2*sin(bx)]\)
\(C_1,C_2,a,b\in\mathbb{R}\)

Bestimmt werden sollen somit die Koeffizienten der Lösungsfunktion.

Was muss ich hier machen?
Noch eine Frage vorweg: Darf ich egal welche Lösungsfunktion verwenden, die da angegeben ist?

\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-28


Hallo,

zwei Möglichkeiten:

- stelle das charakteristische Polynom direkt aus der Koeffizientenmatrix auf. Damit kannst du den Ansatz für die allgemeine Lösung bestimmen.
- wandle mittels Einsetzungsverfahren das System in eine lineare homogene DGL 2. Ordnung um und verfahre dann wie bekannt.


Gruß, Diophant



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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-11-28 23:06 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
- stelle das charakteristische Polynom direkt aus der Koeffizientenmatrix auf. Damit kannst du den Ansatz für die allgemeine Lösung bestimmen.

\(\begin{pmatrix} y'_1\\y'_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1\\y_2 \end{pmatrix}\)

Charakteristisches Polynom aus:

\(\begin{vmatrix} -2-\lambda & -3 \\ 1 & -3-\lambda \end{vmatrix}=0\)
\(0=\lambda^2+5\lambda+9\)
\(\lambda_{1/2}=-\frac{5}{2}\pm \sqrt{-\frac{11}{4}}=-\frac{5}{2}\pm \sqrt{\frac{11}{4}}i\)

Dann erhalte ich:
\(\lambda_1=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{11}}{2}i\)
\(\lambda_2=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{11}}{2}i\)

Eigenvektor zu \(\lambda_1\):

\(EV_1: \begin{pmatrix} -2+\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{11}}{2}i & -3 \\ 1 & -3+\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{11}}{2}i \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} v_1\\v_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}
\)

Nehme die erste Zeile:

\((\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{11}}{2}i)*v_1-3*v_2=0\)

Wähle \(v_1=1\), so folgt:

\(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{11}}{2}i-3*v_2=0\)

\(v_2=\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{11}}{6}i\)

Und somit der Eigenvektor1:

\(EV_1=\begin{pmatrix} 1\\\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{11}}{6}i \end{pmatrix}\)


Allgemein gilt:

\(EV_1*e^{\lambda_1*x}+i*EV_1*e^{\lambda_1*x}\)

Auf meine Lösung angewandt folgt:

\(\begin{pmatrix} 1\\\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{11}}{6}i \end{pmatrix}*e^{(-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{11}}{2}i)*x}+i*\begin{pmatrix} 1\\\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{11}}{6}i \end{pmatrix}*e^{(-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{11}}{2}i)*x}\)


Nun komme ich nicht mehr weiter...
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

hm, ich weiß ja um deine Vorgehensweise (und habe auch Verständnis dafür). Aber ehrlich gesagt solltest du an dieser Stelle deinen Kenntnistand über DGL-Systeme 1. Ordnung einmal angeben und ggf. auch Fachliteratur zurate ziehen.

Im nächsten Schritt benötigst du zu den Lösungen des CP (die ja nichts anderes als Eigenwerte der Koeffizientenmatrix sind) die zugehörigen Eigenvektoren.

Wenn \(s\) ein echt komplexer Eigenwert und \(\vec{d}\) der zugehörige Eigenvektor ist, dann ist \(C_1\cdot \operatorname{Re}\left(\vec{d}e^{sx}\right)+C_2\cdot \operatorname{Im}\left(\vec{d}e^{sx}\right)\) eine Lösung des homogenen Systems.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-29


Ja genau, das habe ich gerade auch in meinen Vorlesungsunterlagen so wiedergefunden und daher meinen vorherigen Post noch einmal ergänzt.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

Eigenwerte und Eigenvektoren sind korrekt.

Der Ausdruck \(e^{a+ib}\) lässt sich bekanntlich folgendermaßen umformen:

\[e^{a+ib}=e^a\cdot e^{ib}=e^a\cdot\left(\cos(b)+i\sin(b)\right)\]
Das solltest du hier ausnutzen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-29


Perfekt, nun komme ich auch auf die richtige Lösung!
Vielen Dank an dich, hat mir sehr weitergeholfen.



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maxmustermann9991 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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