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Universität/Hochschule J DGL System - Realteil des Lösungsvektors
maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Gegeben ist folgende Matrixform der DGL 1. Ordnung:

\(\begin{pmatrix} y'_1\\y'_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -9 & -1 \\ 50 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1\\y_2 \end{pmatrix}\)

Eigenwerte:
\(\lambda_1=-4-5i\)
\(\lambda_2=-4+5i\)
Eigenvektoren:
\(EV_1=\begin{pmatrix} 1\\-5+5i \end{pmatrix}\)
\(EV_2=\begin{pmatrix} 1\\-5-5i \end{pmatrix}\)

Eigenwerte und Eigenvektoren habe ich soweit korrekt berechnet.

Gefragt wird nun:

Aus einem Eigenwert und dem dazugehörigen Eigenvektor lässt sich eine komplexe oder zwei reelle Lösungen des Lösungsvektors identifizieren. Wie lauten die  reelle Lösungen für die beiden Funktionen, die sich aus dem Realteil der Lösungen der ersten beiden Teilaufgaben ergeben?
Gesucht:
\(\vec{y}_{1h}(x)=\begin{pmatrix} y_{11h}\\y_{12h} \end{pmatrix}\)


Mein Vorgehen:


\(y_{11h}=EV_1*e^{\lambda_1*x}\)
\(y_{12h}=EV_2*e^{\lambda_2*x}\)

Dann erhalte ich nach den ganzen Umformungen zum Schluss:
\(y_{11h}=e^{-4x}*[-4cos(-5x)-5sin(-5x)+i(5cos(-5x)-4sin(-5x))]\)
\(y_{12h}=e^{-4x}*[-4cos(5x)+5sin(5x)+i(-5cos(5x)-4sin(5x))]\)

Daraus ist ja nur der Realteil gefragt:
\(\begin{pmatrix} e^{-4x}*[-4cos(-5x)-5sin(-5x)]\\e^{-4x}*[-4cos(5x)+5sin(5x)] \end{pmatrix}\)

Dieser ist nun leider nicht korrekt. Ist mein Ansatz vielleicht schon komplett falsch?
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

die Aufgabe hast du irgendwie komplett missverstanden. Im Prinzip geht es hier genauso wie im vorigen Thread.

In deinen Unterlagen solltest du einen Satz (oder ein Lemma) finden, wonach für einen echt komplexen Eigenwert \(s\) und den zugehörigen Eigenvektor \(\vec{d}\) sowohl \(\operatorname{Re}\left(\vec{d}e^{sx}\right)\) als auch \(\operatorname{Im}\left(\vec{d}e^{sx}\right)\) das homogene System lösen.

Die Vorgehensweise ist also die gleiche wie vorhin, jedoch ist hier gar nicht nach der allgemeinen Lösung gefragt.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'Systeme von DGL' von Diophant]
\(\endgroup\)


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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-11-29 16:32 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:

für einen echt komplexen Eigenwert \(s\) und den zugehörigen Eigenvektor \(\vec{d}\) sowohl \(\operatorname{Re}\left(\vec{d}e^{sx}\right)\) als auch \(\operatorname{Im}\left(\vec{d}e^{sx}\right)\) das homogene System lösen.


\(Re: (EV_1*e^{\lambda_1*x})\)

\(\begin{pmatrix} 1\\-5+5i \end{pmatrix}*e^{(-4-5i)*x}\)

Umgeschrieben:

\(=\begin{pmatrix} e^{(-4-5i)*x}\\(-5+5i)*e^{(-4-5i)*x} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} e^{-4x}*[cos(-5x)+i*sin(-5x)]\\(-5+5i)*e^{-4x}*[cos(-5x)+i*sin(-5x)] \end{pmatrix}\)

\(=\begin{pmatrix} e^{-4x}*[cos(-5x)+i*sin(-5x)]\\5e^{-4x}*[-cos(-5x)-sin(-5x)+i*(cos(-5x)-sin(-5x))] \end{pmatrix}\)

Ist das so gemeint worden?
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-29


Hallo,

gesetzt den Fall, dass deine Vorzeichen alle passen:

2019-11-29 17:12 - maxmustermann9991 in Beitrag No. 2 schreibt:
Ist das so gemeint worden?

Schon, aber du musst dann schon Real- und Imaginärteil getrennt hinschreiben.


Gruß, Diophant




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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-29


Jawohl, passt alles!
Natürlich habe in meinem Post noch nicht Imaginär und Realteil getrennt geschrieben, wollte erst mal sichergehen, dass der Weg der Richtige ist, aber stimmt so.
Vielen Dank!



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maxmustermann9991 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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