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Funktionentheorie » Holomorphie » Anwendung Satz von Rouché
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Universität/Hochschule Anwendung Satz von Rouché
Math_user
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  Themenstart: 2019-11-30

Guten Abend zusammen Ich soll mit Hilfe des Satzes von Rouché zeigen, dass für \(\lambda>1 \in \mathbb{R}\) gilt dass die Funktion \(f(z):=\lambda-z-e^{-z}\) in \(\{z\in \mathbb{C}:Re(z) \geq 0\}\) genau eine Nullstelle hat. Dies ist mir gelungen für \(\{z\in \mathbb{C}:Re(z)> 0\}\) aber ich weiss nicht wie ich den Fall \(\{z\in \mathbb{C}:Re(z)= 0\}\) angehen soll. Hat mir da jemand einen Tipp? Vielen Dank und einen guten Abend Gruss, Math_user


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dietmar0609
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-30

Hallo, Poste doch mal deine Lösung für Re(z)>0. Vielleicht bringt das Ideen. Du hast einen Tipp Fehler in der Aufgabe: Es muss F(z) heißen. Gruß Dietmar


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Math_user
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30

Vielen Dank für den Hinweis, werde ich gerade korrigieren :) Hier meine Argumentation für \(\lambda \in \mathbb{R}:Re(z)>0\): Definiere \(f(z):=\lambda -z-e^{-z}\) und \(g(z):=\lambda-z\). (In der Aufgabenstellung steht, wir sollen zuerst die offenen Kugel \(B(\lambda,1)\) betrachten, voraus sich die 2. Gleichung unten schlussfolgern lässt) Wir erhalten: \(|f(z)-g(z)|=|e^{-z}|


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dietmar0609
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-30

gilt: \lambda\el\ \IC oder \lambda\el\ \IR


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Math_user
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30

Es gilt \(\lambda \in \mathbb{R}\)


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