Die Mathe-Redaktion - 20.01.2020 02:19 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAward-Abstimmung ab 1.1.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 571 Gäste und 4 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Wally haerter
Differentialgleichungen » Partielle DGL » Exponentielles Abklingen / stabile Mannigfaltigkeit
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Exponentielles Abklingen / stabile Mannigfaltigkeit
Caleb
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.04.2014
Mitteilungen: 324
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-11


Nabend,

ich habe eine Frage zu stabilen Mannigfaltigkeiten.
Angenommen, wir haben eine PDE <math>u_t=u_{xx}+f(u)</math>, wobei <math>f</math> eine Nichtlinearität ist mit Nullstellen <math>0</math> und <math>1</math> und beide sind Sattelpunkte.

Jetzt sei <math>\varphi</math> eine (fallende, also <math>\varphi"<0</math>) travelling wave, also eine Heterokline, die 1 mit 0 verbindet.

Dann gilt sicherlich
<math>\displaystyle
\lvert\varphi"\rvert=-\varphi" \leqslant Ce^{\lambda x}, x>0,
</math>
sowie
<math>
-\varphi"\leqslant De^{\mu x}, x<0
</math>
für positive Konstanten <math>C,D</math>,
wobei <math>\lambda<0</math>  der zu <math>0</math> gehörige stabile Eigenwert sei und <math>\mu>0</math> der zu <math>1</math> instabile. Das gilt, weil <math>\varphi</math> im Schnitt der stabilen/instabilen Mannigfaltigkeit von 0 und 1 liegt und daher mit exponentieller Rate gegen 0 bzw. 1 konvergiert.

Ich habe gehört, dass wegen dem Satz über stabile Mannigfaltigkeiten oder dem Theorem von Grobmann und Hartmann auch gilt, dass

<math>\displaystyle
-\varphi"= C(x) e^{\lambda x}, x>0
</math>
<math>
-\varphi"=D(x) e^{\mu x}, x<0
</math>
wobei <math>C, D</math> nun keine Konstante mehr sind, sondern  nichtlineare, beschränkte Funktionen.

Das verstehe ich gar nicht.
Kann das jemand erklären?



Viele Grüße



Wahlurne Für Caleb bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1578
Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-13


Hallo,

ich weiß nicht, welche Version des Satzes über stabile Mannigfaltigkeiten Ihr hattet, aber da in der gewöhnlichen DGL für die Traveling-wave-Lösung die Eigenwerte jeweils einfach sind, kann man zeigen, dass Lösungen in den invarianten Mannigfaltigkeiten mit der Rate <math>e^{\lambda x}</math> bzw. <math>e^{\mu x}</math> abklingen.

Damit könntest Du dann <math>C(x)=-\varphi" e^{-\lambda x}</math> definieren(!) und der Satz über invariante Mannigfaltigkeiten sagt, dass <math>C(x)</math> beschränkt ist.

Viele Grüße,
haerter


-----------------
"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



Wahlurne Für haerter bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Caleb
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.04.2014
Mitteilungen: 324
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-13


Hallo, haerter,

danke für deine Antwort.

Dass die Lösungen mit den exponentiellen Raten abklingen, ist genau das, was ich kenne.

Mit dieser Definition ist <math>C(x)</math> für <math>x>0</math> beschränkt und nicht-linear für <math>x\to\infty</math>. Und der Limes für <math>x\to\infty</math> muss dann ebenfalls existieren.


Ich habe noch zwei Fragen.

(1) Wieso kann man <math>C(x)</math> einfach so definieren? Ich sehe ein, dass es alles tut, was es soll, aber irgendwie ist es mir trotzdem unklar, wieso das funktioniert bzw. man das darf...

(2) Kann man auch für <math>\varphi</math> selbst so vorgehen, d.h. gilt auch dass <math>\varphi(x)=K(x)e^{\lambda x}</math> für <math>x>0</math>, dann mit <math>K(x)=\varphi(x)e^{-\lambda x}</math>? Oder hat man so eine Darstellung nur für <math>\varphi"</math>?


Viele Grüße!



Wahlurne Für Caleb bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Caleb hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]