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Lineare Algebra » Determinanten » Determinantenfunktion - alternierend
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Universität/Hochschule Determinantenfunktion - alternierend
Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-16


Hallo allerseits! Könnt ihr mir bitte helfen?

Sei \(V\) ein \(n\)-dimensionaler Vektorraum und sei \(U\) ein \(n-1\)- dimensionaler Untervektorraum von  \(V\). Sei \(\omega:V^{n} \to K \) eine Determinantenfunktion auf \(V \) und sei \(v \in V \) gegeben. Zeigen Sie, dass

\(\eta:  U^{n-1} \to K, (u_{1}, ..., u_{n-1}) \to \eta(u_{1}, ..., u_{n-1}):= \omega(u_{1}, ..., u_{n-1}, v) \)

eine alternierende \(n-1\)-Form ist.




Mein Ansatz:

Sei \(u_{j} = u_{i} \) mit \(i \neq j \). Dann ist \( \eta(u_{1}, ..., u_{i}, u_{j}, ... , u_{n-1}) = \omega(u_{1}, ..., u_{i}, u_{j}, ..., u_{n-1}, v) = 0 \),

da \(\omega\) eine Determinantenfunktion und damit alternierend ist.


Was meint ihr? Mir scheint das zu simpel, um richtig zu sein...



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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-16


Die Aussage ist nun einmal einfach.

Du musst allerdings noch die Multilinearität zeigen (die genauso einfach zu beweisen ist).



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Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-17


Gracias amigo. Die Multilineartät folgt dann ja auch direkt aus der von \(\omega\).

Jetzt zur etwas schwierigeren Aufgabe: Zeigen Sie, dass \(\eta \neq 0 \), wenn \(v\) nicht in \(U\) liegt.

Hier bietet sich natürlich ein Beweis über die Kontraposition an. Wir zeigen also: \(v \in U \), dann \(\eta = 0 \).

Meine Frage: Darf ich annehmen, dass \(u_{1},...,u_{n-1}\) Basisvektoren von \(U^{n-1}\) sind?



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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-17


Ja, weil zwei Determinantenformen auf $U$ schon dann gleich sind, wenn sie es auf einer Basis sind. (Der Raum der Determinantenformen ist 1-dimensional.)



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Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-19


Danke! Dann sieht die Hin-Richtung so aus (Beweis per Kontraposition):


Sei \(v \in U \). Dann gibt es \(k_{1}, ..., k_{n-1} \in K \) mit \(v=k_{1}u_{1}+...+k_{n-1}u_{n-1}\). Damit ist

\(\eta(u_{1},...,u_{n-1}) = \omega(u_{1},...,u_{n-1},k_{1}u_{1}+...+k_{n-1}u_{n-1})=...=0\),

da \(\omega\) multilinear und alternierend ist.



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Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-19


Und die Rückrichtung:

Sei \(\eta(u_{1},...,u_{n-1})=\omega(u_{1},...,u_{n-1},v) =0\). Dann muss sich ein Vektor als Linearkombination der anderen schreiben lassen. Da \(u_{1},...,u_{n-1}\) nach Voraussetzung linear unabhängig sind, muss \(v\) der Vektor sein, der sich als Linearkombination der restlichen Vektoren, also als Linearkombination von \(u_{1},...,u_{n-1}\) schreiben lässt. Damit ist aber \(v\in U\).





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Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-22


Oder habe ich etwas übersehen?



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Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-29


Kann mir bitte kurz noch jemand sagen, ob das stimmt?



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