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Lineare Algebra » Determinanten » Determinantenformen und Dualraum
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Universität/Hochschule Determinantenformen und Dualraum
LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-18


Moin Leute.
Ich muss folgende Aufgabe bearbeiten:



Ansätze habe ich wie immer kaum welche, aber für mich sieht es so aus, als müsste man bei der a) nachweisen, dass \(\Omega\) eine Determinantenform darstellt, also muss man die Eigenschaften abklappern: multilinear und alternierend. Ich weiss nicht was das \(\phi\) hier soll, soll das vielleicht so eine Art skalares Vielfaches darstellen? Ich habe wirklich keinen Plan. Jedenfalls zur Determinantenform:

Multilinear: \(\Omega(f_1, ... , \lambda a + b, ... , f_n, v_1, ... v_n) = \det(A(f_1, ... , \lambda a + b, ... , f_n, v_1, ... v_n))\)

Dann ist A somit:

\(A=\left( \begin{array}{rrr}f_1(v_1) & \cdots & f_1(v_n)  \\\vdots &  & \vdots  \\ (\lambda a+b)(v_1) & \cdots & (\lambda a+b)(v_n)  \\ \vdots &  & \vdots  \\f_n(v_1) & \cdots & f_n(v_n)  \\\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rrr}f_1(v_1) & \cdots & f_1(v_n)  \\\vdots &  & \vdots  \\ \lambda a(v_1)+b(v_1) & \cdots & \lambda a(v_n)+b(v_n)  \\ \vdots &  & \vdots  \\f_n(v_1) & \cdots & f_n(v_n)  \\\end{array}\right)\)

Wenn man nun die det von A betrachtet, kann man direkt die Multilinearität von det anwenden und erhält:

\(\det \left( \begin{array}{rrr}f_1(v_1) & \cdots & f_1(v_n)  \\\vdots &  & \vdots  \\ \lambda a(v_1)+b(v_1) & \cdots & \lambda a(v_n)+b(v_n)  \\ \vdots &  & \vdots  \\f_n(v_1) & \cdots & f_n(v_n)  \\\end{array}\right)=\lambda\det\left( \begin{array}{rrr}f_1(v_1) & \cdots & f_1(v_n)  \\\vdots &  & \vdots  \\  a(v_1) & \cdots & a(v_n)  \\ \vdots &  & \vdots  \\f_n(v_1) & \cdots & f_n(v_n)  \\\end{array}\right) + \det \left( \begin{array}{rrr}f_1(v_1) & \cdots & f_1(v_n)  \\\vdots &  & \vdots  \\ b(v_1) & \cdots & b(v_n)  \\ \vdots &  & \vdots  \\f_n(v_1) & \cdots & f_n(v_n)  \\\end{array}\right)\)

Und das ist nun wiederrum gleich zu:

\(\lambda\det(A(f_1, ... , a , ... , f_n, v_1, ... v_n))+\det(A(f_1, ... , b , ... , f_n, v_1, ... v_n))=\lambda\Omega(f_1, ... , a , ... , f_n, v_1, ... v_n) + \Omega(f_1, ... , b , ... , f_n, v_1, ... v_n)\)

Also folgt: \(\Omega(f_1, ... , \lambda a + b, ... , f_n, v_1, ... v_n) =\lambda\Omega(f_1, ... , a , ... , f_n, v_1, ... v_n) + \Omega(f_1, ... , b , ... , f_n, v_1, ... v_n)\)

Somit ist \(\Omega\) multilinear, das "alternierend" hätte ich dann ganz analog gemacht. Somit ist \(\Omega\) eine Determinantenform, aber was hat es mit dem \(\phi\) auf sich? Wie komm ich da ran? Und wo kommen die Basen von V und V' zum Einsatz? Kann mir jemand einen kleinen Tipp geben weil ich weiss echt nicht weiter



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-20


Hallo,

Für Teil a) sehe ich nicht so Recht, was es dir bringt, wenn du zeigst, dass $\Omega$ multilineare und alternierend ist. Um an das Phi zu kommen, schau dir diese Gleichung $\Omega(...)=\Phi(..)D(..)$ Mal für $v1=x1$,... $v_n=x_n$ und $f_i$ beliebig im Dualraum an. Damit bekommst du bereits eine abboldungsvorscheift von Phi und musst dann noch gewünschte Gleichheit für beliebige v_i zeigen.

Bei B) kannst du dann versuchen zu zeigen, dass Phi multilineare und alternierend ist.

Beste Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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