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Analysis » Topologie » Untermannigfaltigkeit
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Universität/Hochschule Untermannigfaltigkeit
PiJey100
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-12


Guten Abend :)


Ich soll u.a. die beiden folgenden Mengen auf (differenzierbare) Untermannigfaltigkeit untersuchen.
1) M := Z x R^2
2) M := Q × R^2

Ich weiß, dass 1) eine ist und 2) keine, weiß aber nicht wie ich das kurz begründen könnte.

Zur 1) hatte ich die Idee dass ich sage, dass Z offen sowie eine Teilmenge von R ist und damit eine Untermannigfaltigkeit ist. Analog kann man das mit R^2 begründen. Damit wäre M als Kreuzprodukt von Untermannigfaltigkeiten eine Untermannigfaltigkeit, diese Begründung benutzt allerdings Aussagen die wie in der Vorlesung noch nicht bewiesen hatten, weswegen ich nach einer besseren suche.

Zur 2) hatte ich wohl gelesen dass es keine stetige Umkehrabbildung geben kann, weiß aber nicht wie ich das zeigen kann bzw. ob es nicht auch einfacher geht.

Würde mich über Hilfe freuen :)


Grüße

PiJey



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-12


Hallo,

2020-01-12 19:07 - PiJey100 im Themenstart schreibt:
Zur 1) hatte ich die Idee dass ich sage, dass Z offen sowie eine Teilmenge von R ist und damit eine Untermannigfaltigkeit ist.

was ist Z? Schließlich ist $\mathbb{Z}$ sicher nicht offen in $\mathbb{R}$.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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PiJey100
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-12


Z meint die ganze Zahlen.

Stimmt, ich hatte das leider mit einer anderen Aussage verwechselt. Dann ist auch meine Backup-Antwort weg.
Wie könnte ich ansonsten argumentieren, könntest du mir einen passenden Tipp geben?

Grüße
PiJey



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-13


Hi,

es ist eine Weile her, seitdem ich mich mit Untermannigfaltigkeiten beschäftigt habe - sorry also, wenn folgende Ansätze fehlerhaft oder umständlich ist. Aber I'll try!  😄

Zu 1): Man kann zu jedem $a = (n,x) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{R}^2$ eine offene Umgebung $U_a \subseteq \mathbb{R}^3$ finden, sodass $$U_a \cap (\mathbb{Z} \times \mathbb{R}^2) = \{n \} \times \mathbb{R}^2 \cong \mathbb{R}^2.$$ Nun kannst du eines der äquivalenten Formulierungen einer Untermannigfaltigkeit einsetzen.

Zu 2): Argumentiere mit topologischen Invarianten.


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PiJey100
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-13


Ich hab's, danke :D



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