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Analysis » Funktionalanalysis » Kontinuierliches und diskretes Spektrum eines linearen Operators bestimmen
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Universität/Hochschule Kontinuierliches und diskretes Spektrum eines linearen Operators bestimmen
Caleb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-20


Guten Abend!

Sei <math>u_t-u_{xx}-f(u)=0, x\in (-\infty,\infty)</math> mit <math>f(0)=f(1)=0, f"(0)<0, f"(1)<0</math>. Weiter sei <math>u=U(x-ct), U(-\infty)=0, U(\infty)</math> eine travelling front Lösung.

In diesem Zusammenhang taucht nun der lineare Operator
<math>\displaystyle
Ly=-y_{zz}+\left(\frac{1}{4}c^2-f"(U)\right)y
</math>
mit Domäne in <math>\mathcal{L}(-\infty,\infty)</math> auf und es wird behauptet, daß das kontinuierliche Spektrum rechts von  
<math>\displaystyle
\min \left(\frac{1}{4}c^2-f"(0),\frac{1}{4}c^2-f"(1)\right)
</math>
liegt (und somit strikt positiv ist) und das diskrete Spektrum links davon.

Ich würde das gerne verifizieren, aber weiß nicht, wie ich das kontinuierliche/ diskrete Spektrum hier ausrechnen kann.


-----

Die Definitionen kenne ich zumindest:

Kontinuierliches Spektrum:

Menge aller <math>\lambda</math> für die <math>L-\lambda I</math> injektiv ist und dichtes Bild hat, aber nicht surjektiv ist

Diskretes Spektrum:

Menge aller <math>\lambda</math> für die <math>L-\lambda I</math> nicht injektiv ist

Hier ist <math>(L-\lambda I)y=-y_{zz}+\left(\frac{1}{4}c^2-f"(U)-\lambda\right)y</math>.






Viele Grüße!



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doglover
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Mitteilungen: 330
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-27 23:57


Hallo Caleb,

ich weiß nicht, ob dir die Antwort hilft, aber was das Punktspektrum betrifft, kann man sich folgendes überlegen:

Sei $\lambda \in \sigma_p(L)$, so ist nach Definition $L-\lambda Id$ nicht injektiv. Das heißt es gibt ein $y\neq 0$ mit

$Ly-\lambda y=0$.

Ich nehme im Folgenden an, dass $y\in W^{2,1}(\mathbb{R})$ ist. Dann kann man die obige Gleichung mit $y$ multiplizieren und partiell integrieren und erhält

$-\int_{\mathbb{R}}y^2_xdx=\int_{\mathbb{R}}\left(\frac{c^2}{4}-f^{\prime}(U)-\lambda\right) y^2 dx$.

Nun muss $\int_{\mathbb{R}}y^2_xdx>0$ sein, denn sonst wäre $y$ konstant und wegen der Integrierbarkeitsbedingung identisch $0$. Aus obiger Gleichheit folgt damit, dass es ein $x_0\in \mathbb{R}$ geben muss mit

$\frac{c^2}{4}-f^{\prime}(U(x_0))-\lambda<0 \Leftrightarrow \frac{c^2}{4}-f^{\prime}(U(x_0))<\lambda$.

Wie man weiter machen könnte, sehe ich gerade nicht bzw. scheint die Abschätzung auch in die 'falsche' Richtung zu gehen (es müsse links von einem Wert liegen, also $\lambda<\dots$ wäre wünschenswert). Vielleicht hat ja noch jemand eine Idee.

Viele Grüße

doglover



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