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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Geht der Beweis für "V = im(f) + ker(f) => f = f²" so in Ordnung?
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Autor
Universität/Hochschule J Geht der Beweis für "V = im(f) + ker(f) => f = f²" so in Ordnung?
LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-26


Guten Morgen liebe Community.
Ich bearbeite derzeitig ein paar alte Klausuraufgaben, und bin auf diese Aufgabe gestossen. Das ist eine ziemlich Standard Aufgabe, die ich schonmal auf einem Übungszettel bearbeiten musste, aber dort musste ich nur die Rückrichtung machen.



Könnten ihr mal drüber schauen und mir sagen, ob mein Ansatz für die Hinrichtung so passt?

Sei \(v\in V\), dann gilt: \( v = v-f(v)+f(v) = (v-f(v)) + f(v) \implies V = (id-f)(V) + f(V) = (id-f)(V) + im(f)\)
Nach Annahme folgt dann: \( im(id-f) = ker(f)\)
Sei nun \( x\in ker(f) \implies f(x) = 0 \) und \( \exists w\in V: (id-f)(w) = x\)
Nun wendet man \( f \) erneut an und erhält:
\( 0= f(x) = f((id-f)(w)) = f(w)-f²(w) \implies f(w) = f²(w) \implies im(f) = im(f²)\)

Ich bin mir nicht ganz sicher ob das schon alles ist



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-26


Hallo,

dein Beweis enthält leider mehrere Fehler.

2020-01-26 11:21 - LineareAlgebruh im Themenstart schreibt:

Nach Annahme folgt dann: \( im(id-f) = ker(f)\)


Das folgt nicht ohne Weiteres.

2020-01-26 11:21 - LineareAlgebruh im Themenstart schreibt:
Sei nun \( x\in ker(f) \implies f(x) = 0 \) und \( \exists w\in V: (id-f)(w) = x\)
Nun wendet man \( f \) erneut an und erhält:
\( 0= f(x) = f((id-f)(w)) = f(w)-f²(w) \implies f(w) = f²(w) \implies im(f) = im(f²)\)

Aus diesem Argument folgt ebenso nicht ohne Weiteres $\operatorname{im}(f) = \operatorname{im}(f^2)$.


Versuche es so: Zunächst ist klar, dass $\operatorname{im}(f^2) \subseteq \operatorname{im}(f)$. So nun $v \in \operatorname{im}(f) \subseteq V$. D.h. $v = f(x)$ für ein $x \in V$. Schreibe $x = a+b$ wie in der Voraussetzung suggeriert. Wie geht es weiter?


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26


Hallo Kezer, danke für die Antwort!

Wenn \( x\in V\), dann kann man dieses x darstellen als Linearkombination von den Basisvektoren von im(f) und ker(f), also:
Seien A Basis von im(f), B Basis von ker(f), dann:
\( x=\sum_{i=1}^{m} \lambda_i a_i + \sum_{i=1}^{l} \mu_i b_i \)
Wenn man jetzt f darauf anwendet erhält man:
\( f(x) = f(\sum_{i=1}^{m} \lambda_i a_i + \sum_{i=1}^{l} \mu_i b_i) = f(\sum_{i=1}^{m} \lambda_i a_i) + f(\sum_{i=1}^{l} \mu_i b_i) = f(\sum_{i=1}^{m} \lambda_i a_i)+0=\sum_{i=1}^{m} \lambda_i f(a_i)=v\)

Aber was nun?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-26


Hi,

du musst gar nicht so kompliziert denken - mir ist z.B. nicht klar, wie eine Linearkombination von Basiselementen helfen könnte. Du benutzt in deinem Ansatz nicht, dass $a \in \operatorname{im}(f)$ ist, sondern nur, dass $\operatorname{im}(f)$ ein Vektorraum ist. Das reicht nicht.

Stattdessen schreibe bloß $x = f(y) + b$, wobei $y \in V$ und $b \in \operatorname{ker}(f)$. Wende nun $f$ auf die Gleichung an.  😄


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LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26


Oh man... Dass ich daran so lange gesessen habe... Das ist ja super trivial! Man kann ja direkt f anwenden auf V = im(f) + ker(f), dann bekommt man f(V) = f(f(V) + f(ker(f)) = f(f(V)) und das wars schon... Man man man, vielen lieben Dank Kezer!



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