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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » skalare Differentialgleichungen
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Universität/Hochschule skalare Differentialgleichungen
nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-09


Hallo zusammen,

ich sitze hier an einer Aufgabe und weiß nicht so genau, wie ich an diese herangehen soll...

Sei I ein offenes Intervall. Wir nehmen an dass die durch

x1(t)=t+1
x2(t)=t-1
x3(t)=1-t^2

definierten Funktionen über I, die in die reellen Zahlen abbilden die skalare DGL

x'' + a1(t)*x' + a0(t)*x = b(t)   (1)

lösen, wobei a0, a1, b stetige Funktionen sind. Man bestimme die Menge aller Lösungen von (1).


Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann.
Vielen Dank schon mal!
nitram999



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-09


Hallo,

kann es sein, dass die DGL
\[x''(t)+a_1(t)\cdot x'(t)+a_0(t)\cdot x(t)=b(t)\] lautet? Ansonsten ist die Darstellung etwas komisch. Wie auch immer. Die DGL ist linear inhomogen. Du hast drei inhomogene Lösungen gegeben.
Es gilt also
\[
\begin{align}
x_1''(t)+a_1(t)\cdot x_1'(t)+a_0(t)\cdot x_1(t)&=b(t)\\
x_2''(t)+a_1(t)\cdot x_2'(t)+a_0(t)\cdot x_2(t)&=b(t)\\
x_3''(t)+a_1(t)\cdot x_3'(t)+a_0(t)\cdot x_3(t)&=b(t)
\end{align}
\] für alle $t\in I$. Konstruiere zuerst eine homogene Lösung, also eine Funktion $y$ mit
\[
y''(t)+a_1(t)\cdot y'(t)+a_0(t)\cdot y(t)=0
\] für alle $t\in I$.

EDIT: Typo in der letzten Gleichung



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-09


Hallo ochen,

danke für die schnelle Antwort. Ja du hast recht, ich habe es schon berichtigt.

Aber ich weiß nicht genau, wie ich jetzt diese Funktion y(t) konstruieren soll  😵

Für die Homogenität würde ich ja b(t) erstmal gleich 0 setzen und dann x1(t), x2(t) und x3(t) in dein angegebenes Gleichungssystem einsetzen. Aber irgendwie stehe ich da noch auf dem Schlauch, wie es dann weiter geht.

Viele Grüße,
nitram999



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-09


Was passiert denn, wenn du Gleichung (1) von Gleichung (2) aus dem Beitrag 1 abziehst?

Kennst du Vektorräume?



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-09


Dann ergibt sich, dass a0(t) = 0 gelten muss, oder?

Und Vektorräume kenne ich.

LG nitram999



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-10


Kannst du deine Rechnung dazu aufschreiben?



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-10


Hallo ochen,

hier ist meine Rechnung. Im letzten Schritt ist b(t) ja dann gleich 0, wenn man die homogene DGL betrachtet und damit dann ja auch a0(t) gleich 0.



Viele Grüße,
nitram999



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Was ist denn \(b(t)-b(t)\)?

wally
\(\endgroup\)


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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-10


Ups, hab mich verschrieben...

-2 a0(t) = 0 muss da stehen, woraus dann folgt dass a0(t)=0 ist (wie ich im Beitrag 4 ja schon gesagt habe).

Aber wie gehts dann weiter?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-14


Hallo,

Du könntest jetzt mit dem Wissen, dass <math>a_0(t)=0</math> ist, weiterrechnen, aber das ist vielleicht gar nicht so optimal.

Gefragt ist ja nach "Man bestimme die Menge aller Lösungen".

Hast Du denn eine Charakterisierung, wie die Menge aller Lösungen solch einer inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung aussieht?

Das könnte hier enorm helfen (zusammen mit Deinen bisherigen Überlegungen zur homogenen DGL).

Viele Grüße,
haerter


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"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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