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Universität/Hochschule Stabilität von Ruhelagen
nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-10


Hallo,

hier eine Aufgabe, bei der ich nicht genau weiß, wie ich sie angehen soll. ich habe schon versucht das charakteristische Polynom zu berechnen, aber da es eine 3x3-Matrik ist, lassen sich dann die Nullstellen davon (Eigenwerte) nicht leicht bestimmen, um damit dann eine Stabilitätsaussage machen zu können.
Welchen anderen Weg gibt es?



Viele Grüße,
nitram999



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-10


Hallo,

das charakteristische Polynom und die Nullstellen sind im Kopf berechenbar.

Wally



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-10


Hallo Wally,

danke für die schnelle Antwort! Aber ich verstehe nicht, wie das sogar im Kopf gehen kann? Kannst du mir deinen Weg vielleicht erklären?

LG nitram999



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-10


Hallo nitram999

Sagt dir der "Satz des Sarrus" etwas? Mit diesem kannst du das charakteristische Polynom einer 3 mal 3 Matrix sehr schnell berechnen.

Gruss,
Math_user



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-02-10 09:15 - nitram999 im Themenstart schreibt:
...lassen sich dann die Nullstellen davon (Eigenwerte) nicht leicht bestimmen...

Wenn du es so machst, wie in den vorigen Beiträgen geraten wurde, dann hast du das charakteristische Polynom hier doch sofort in faktorisierter Form vorliegen. Da lässt sich eine Nullstelle sofort ablesen. Eine weitere gibt es nur bei einer bestimmten Wahl von \(\beta\). (@Wally: Danke für den Hinweis)


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-10


Ja der Satz sagt mir natürlich etwas. Meine Frage ist eher, wie man dann die Nullstellen daraus im Kopf berechnen kann...

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-02-10


Hallo,

beachte mal die Nullen in der Matrix. Die führen dazu, dass man in jede Richtung nur ein einziges Produkt berücksichtigen muss. Und diese beiden Produkte haben jeweils einen Faktor gemeinsam.


Gruß, Diophant



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Wenn man \(\det (A-\lambda E)\) ausrechnet, hat man sofort (wenn man z.B. nach der letzten Zeile entwickelt) den Faktor \((1+\alpha)-\lambda\). Wie sieht der andere Faktor aus?

@Diophant: auch die komplexen Eigenwerte sind interessant. Dabei ist der Realteil davon wichtig.

Wally
\(\endgroup\)


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