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Lineare Algebra » Determinanten » Beweis für Determinante mit vollständiger Induktion
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Universität/Hochschule Beweis für Determinante mit vollständiger Induktion
retsiwt
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.02.2020
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-11


Hallo,

es ist die folgende Matrix gegeben.

A = \(\begin{array}{(ccc)} a & 0 & 0\\ 0 & a & 0\\ a & 0 & a\\ \end{array}\)

Nun soll bewiesen werden, dass \(det(A^n)\) = a^(3*n) für \(n \ge 1\) gilt.

Der Induktionanfang ist simpel mit n= 1: \(det(A^1) = a^3\)

Wie schafft man es dann dafür zu sorgen, dass man bei

det(A^(n+1)) = a^(3*(n+1))

die Induktionsvoraussetzung \(det(A^n)\) = a^(3*n) für \(n \ge 1\) einsetzen kann. Muss man hier etwas umformen oder geht es um einen anderen Aspekt?




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Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 493
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-11


Guten Morgen,

Nutze $det(A\cdot B) =det(A) \cdot det(B)$ (für passende Matrizen).

Beste Grüße
CreasY


-----------------
Smile (:



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retsiwt
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.02.2020
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-11


Leider hilft mir das noch nicht ganz weiter.

Gilt det(A^(n+1)) = det(A^n) * det(A^(n+1))?

Da kann man dann die Induktionsvoraussetzung anwenden, aber dann komme ich auch noch nicht weiter.



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Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 627
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-11


Es ist wahrscheinlich ein Tippfehler, aber es ist $A^{n+1} = A^n \cdot A$. Was genau passiert denn, wenn du die Induktionsvoraussetzung eingesetzt hast? Schreibe es doch mal auf, eigentlich ist danach nichts mehr zu tun.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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retsiwt
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.02.2020
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-11


Okay, dann ergibt sich:

\(det(A^n) * det(A) = a^{3n+3}\)

Ich hatte nicht berücksichtigt, dass det(A) berechnet werden kann, sodass am Ende einfach \(a^{3n+3} = a^{3n+3} \) gilt.

Danke!



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Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 627
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-11


Sehr gut.  😄

Es ist ja $\det(A) = a^3$ schließlich Induktionsanfang (und auch Induktionsvoraussetzung, da $1 \leq n$).


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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