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Analysis » Maßtheorie » Zeigen, dass Funktion messbar
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Universität/Hochschule J Zeigen, dass Funktion messbar
Leeva
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  Themenstart: 2020-02-13

Hallo, ich muss wissen, ob folgende Funktion messbar ist. Leier bin ich als Wirtschaftler nicht sehr vertraut mit dem messbarkeits Begriff, bzw. mit dessen Nachweis. Ich habe mir die Definition natürlich angesehen und auch Beispiele aber leider bin ich damit nicht weiter gekommen. Kann mir jemand helfen? \ f: A -> R mit \ f(x) = x*k wobei k eine Konstankte ist, A = {0,1,..702}. Danke für jede Hilfe!


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AnnaKath
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-13

Huhu Leeva, und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten! Die kurze Antwort ist: Die Abbildung ist messbar. Natürlich hängt das formal von der $\sigma$-Algebra ab, die Du über $A$ betrachtest*; sofern hier die Potenzmenge Verwendung findet (und es gibt keinen Anlass Anderes anzunehmen), ist dies aber erfüllt. Und ich denke, in den Wirtschaftswissenschaften muss man das auch nicht beweisen (obwohl dies denkbar einfach ist). lg, AK. *) und im schlimmsten Fall auch von der $\sigma$-Algebra über $\mathbb{R}$


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\) Hallo Leeva, der Begriff der Messbarkeit einer Funktion ist nur für Funktionen zwischen messbaren Räumen, also Mengen mit einer $\sigma$-Algebra, definiert, und zwar darüber, dass das Urbild messbarer Mengen messbar ist. Deshalb braucht man die $\sigma$-Algebren, denn die geben gerade an, welche Mengen messbar sind (eine Menge ist messbar, wenn sie in der $\sigma$-Algebra enthalten ist). Um diese Funktion auf Messbarkeit zu untersuchen, muss also zunächst jeweils eine $\sigma$-Algebra sowohl auf $A$, als auch auf $\R$ angegeben werden. Auf $\R$ würde man typischerweise die Borelsche $\sigma$-Algebra erwarten, also die von allen offenen Mengen erzeugte $\sigma$-Algebra. Einfacher ist es bei $A$, denn diese Menge ist endlich, und auf endlichen Mengen betrachtet man für gewöhnlich einfach die gesamte Potenzmenge als $\sigma$-Algebra, das heißt jede Teilmenge von $A$ ist messbar. Damit solltest du relativ schnell darauf kommen, wiese $f$ messbar ist. Aber nochmal zur Betonung: Ob $f$ messbar ist, hängt von den $\sigma$-Algebren der betrachteten messbaren Räume ab. Es gibt auch $\sigma$-Algebren, mit denen $f$ nicht messbar wäre. Die beiden oben genannten sind aber die am häufigsten verwendeten, deshalb macht es ohne weitere Info Sinn, von diesen auszugehen. Viele Grüße Vercassivelaunos [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)


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