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  Effektive Masse im eindimensionalem Gitter |
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che
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 |  Themenstart: 2020-02-18
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Hallo Allerseits,
Ich würde gerne die effektive Masse für K geht genen Null, sowie den Wert für K berechnen die effektive Masse unendlich wird in einem eindimensionalen Gitterstruktur berechnen. Wobei alpha eine Konstante ist und Kantenlänge a.
Mein Ansatz ist wie folgt, leider bin ich mir überhaupt nicht sicher ob es richtig ist.
Gegeben ist die Elektronen Dispersion des ersten Bandes: E = -\alpha*cos(k*a/2)
Eindimensional Dispersionsrelation: E = (\hbar^2*\pi^2*q_x^2)/(2*m^\* *a_x^2) + (\hbar^2*\pi^2*q_y^2)/(2*m^\* *a_y^2) + (\hbar*K^2)/(2*m^\*)
=> -\alpha*cos(k*a/2) = (\hbar^2*\pi^2*q_x^2)/(2*m^\* *a_x^2) + (\hbar^2*\pi^2*q_y^2)/(2*m^\* *a_y^2) + (\hbar*K^2)/(2*m^\*)
für k->0:
-\alpha = (\hbar^2*\pi^2*q^2)/(2*m^\* *a^2) + (\hbar^2*\pi^2*q^2)/(2*m^\* *a^2)
m^\* = (\hbar^2 * \pi^2*q^2)/(a*\alpha)
für m^\*->\inf:
-\alpha*cos(k*a/2) = 0
(k*a)/2 = cos^-1(0)
(k*a)/2 = \pi/2
k = \pi*a
Danke
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-18
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Moin,
dein Ansatz ist nicht stimmig, weil du auf der einen Seite sagst, dass $E(k) = -\alpha\cdot\cos(k\cdot \frac{a}{2})$ ist und auf der andere Seite soll $E(k) = ... + ... + \frac{\hbar \cdot k^2}{2\cdot m^{*}}$ gelten. Eine parabelförmige Dispersionsrelation gilt aber nur für freie Elektronen oder eben als Nährung für einen Bereich nahe um das erste Bandminimum (1. Brillouin-Zone). Allgemein gilt für die effektive Masse eines Kristallelektrons $m^{*} = \hbar^2 \left[\frac{d^2 E(k)}{dk^2} \right]^{-1}$. Du musst erst mal die zweite Ableitung deines Bands bestimmen, wobei du $E(k) = -\alpha\cdot\cos(k\cdot \frac{a}{2})$ als Dispersionsrelation einsetzt.
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che
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20
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Hallo Berufspenner,
danke für deine Antwort.
Verstehe ich das richtig, das ich die eindimensinale Dispersionsrelation verwenden kann nur als zweite Ableitung (bin mir nicht sicher was mit zweiter Ableitung des Bandes gemeint ist)?
Danke
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che
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20
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Hi,
ich würds jetzt gern nochmal probieren..., stimmt das?
Erstes Band Elektronen Dispersion:
E(k)=-\alpha*cos(k*a/2)
diff(E(k),k,2) = (a^2*\alpha)/4 * cos(ka/2)
m^\* = \hbar^2 * (diff(E(k),k,2))^(-1) => m^\* = \hbar^2 * ((a^2*\alpha)/4 * cos(ka/2))^(-1)
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-24
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So, jetzt komme ich endlich mal wieder zum Antworten...
\quoteon(2020-02-20 14:25 - che in Beitrag No. 2)
Verstehe ich das richtig, das ich die eindimensinale Dispersionsrelation verwenden kann nur als zweite Ableitung (bin mir nicht sicher was mit zweiter Ableitung des Bandes gemeint ist)?
\quoteoff
Die hier gegebene Dispersionsrelation $E(k) = -\alpha\cdot\cos(k\cdot \frac{a}{2})$ gibt dir den Verlauf der Bandkante in Abhängigkeit des Kristallwellenvektors k an. Die effektive Masse ist wie bereits gesagt proportional zum Kehrwert der zweiten Ableitung dieser Bandkante, was dessen Krümmung darstellt.
\quoteon(2020-02-20 23:34 - che in Beitrag No. 3)
Hi,
ich würds jetzt gern nochmal probieren..., stimmt das?
Erstes Band Elektronen Dispersion:
E(k)=-\alpha*cos(k*a/2)
diff(E(k),k,2) = (a^2*\alpha)/4 * cos(ka/2)
m^\* = \hbar^2 * (diff(E(k),k,2))^(-1) => m^\* = \hbar^2 * ((a^2*\alpha)/4 * cos(ka/2))^(-1)
\quoteoff
Das sieht doch soweit schon mal ganz gut aus. Wenn du dir jetzt den Kehrwert der Krümmig für die 1. Brillouin Zone, also für das Intervall $k = \left[-\pi/a,\pi/a\right]$, anguckst, was kannst du dann für die effektive Masse an bestimmten Stellen ableiten?
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