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 Lösung Differentialgleichung 3. Ordnung |
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lukas93
Neu 
Dabei seit: 19.02.2020
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2020-02-19
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Guten Abend,
ich suche Eigenfunktionen bezüglich des Operators
\[
\int_0^1\frac{1}{2}K(s,t)f(t)dt=\lambda f(s),
\]
mit $K(s,t)=min(s^2,t^2).$ In der Literatur ist der Kern $\tilde{K}(s,t)=min(s,t)$ bereits sehr gut erforscht und die Integralgleichung vereinfacht sich in diesem Fall auf die Lösung der Differentiagleichung $\lambda f''=-f.$
Vielleicht kann mir jemand bei meinem Problem helfen. In meinem genannten Fall lässt sich das Problem auf das lösen der Differentialgleichung
\[\lambda f'''(x)=-2f(x)-xf'(x)\]
zurückführen.
Vielen Dank im voraus,
Lukas
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 Profil
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9727
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Lukas,
willkommen auf dem Matheplaneten.
Lösbar ist die Differentialgleichung, allerdings nicht sehr explizit.
Du brauchst ein Fundamentalsystem: Maple liefert
\(C_1*x*BesselJ(2/3,2/3*x^{3/2}\lambda^{1/2})+C_2*x*(3*WeberE(2/3,2/3*x^{3/2}\lambda^{1/2})+3^{1/2}*AngerJ(2/3,2/3*x^{3/2}\lambda^{1/2}))+C_3/x^{1/2}*(-BesselJ(1/3,2/3*x^{3/2}\lambda^{1/2})*\lambda^{1/2}+x^{3/2}*BesselJ(4/3,2/3*x^{3/2}\lambda^{1/2}))\)
Das bedeutet, dass es keine "einfache" Lösung gibt, leider. Je nachdem, was du damit machen willst, kannst du die Funktionen und eventuall ihre Asymptotik nachschlagen.
Wally
\(\endgroup\)
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lukas93
Neu
Dabei seit: 19.02.2020
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-19
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Das habe ich bereits auch gesehen. Wäre es denkbar, dass sich der Ausdruck unter gewissen Anfangswerten maßgeblich vereinfacht?
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9727
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-19
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Schwer zu sagen.
Was man allgemein macht, ist ein Potenzreihenansatz. Es kommt auch sehr darauf an, welche Eigenschaften der Lösungsfunktionen du benötigst.
Wally
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