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Analysis » Folgen und Reihen » Ableiten und Reihendarstellung
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Universität/Hochschule J Ableiten und Reihendarstellung
Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-20


Hallo!
Ich soll f(t)=(e^(it)-1)/it n-mal ableiten... (um genau zu sein an der Stelle 0 - handelt sich hier um eine charakteristische Funktion)
Ich gehe davon aus, dass sich hinter diesem Ausdruck eine reihendarstellung versteckt, die das ableiten ungemein vereinfachen würde.
Mein Problem ist aber, dass ich nicht draufkomme welche das ist. :(
Bitte um Hilfe :)



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-20


Hallo Drgglbchr,
Du sollst sie sicher auch nicht erraten, sondern herleiten aus etwas Bekanntem. Kennst Du denn die Reihendarstellung von $e^x$?

Ciao,

Thomas



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20


Ja, die reihendarstellung von e^x ist sum(x^n/n!)



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-20


Hallo Drgglbchr,
sehr schön. Aber bitte gewöhne Dir eine präzise Arbeitsweise an. Benutze bitte den Fed-Editor oder Latex, und schreibe die Summe vollständig auf. Bei welchem "n" startet die Summe, wo hört sie auf?

Ciao,

Thomas



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20


Die Summe beginnt, glaub ich, bei n=0 und läuft bis unendlich.

Sry, bin nicht so versiert in LaTeX, aber werde versuchen es zu verwenden:)



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-20


Hallo Drgglbchr,
wieder richtig, sehr gut. Setze nun die von Dir genannte Reihe in die Gleichung für f(t) ein und vereinfache. Da kommen wir jetzt um eine ordentliche Darstellung nicht herum. Versuch es mit dem Fed-Editor, der ist sehr einfach. Schlimmstenfalls mach es handschriftlich und stelle ein (gut leserliches) Foto davon hier ein.  😉

Ciao,

Thomas



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20


fed-Code einblenden

Stimmt das so?
Wie kann ich jetzt k-mal ableiten? :)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

das stimmt so, wobei man es (das ist Geschmacksache) auch bei der vorletzten Version belassen kann. Wobei, wenn ich es mir genau überlege, dann hat deine Version eigentlich auch Vorteile.

Du kannst jetzt den Summand nach der Ableitungsregel für Potenzfunktionen nach t ableiten, wobei der Faktor \(i\) noch per Kettenregel zu berücksichtigen ist. Und dabei halt vereinfachen was geht. Insbesondere ist darauf zu achten, dass mit jeder Ableitung ein Summand wegfallen muss (weshalb?)


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20


fed-Code einblenden
Die jeweils ersten k Summanden verschwinden, weil sie ja nur konstanten sind.
Stimmt das?



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-20


Hallo Drgglbchr,
nicht ganz. Zwei Anregungen:
1. Du kannst $(it)^n=i^nt^n$ setzen. Du hast hier nämlich die innere Ableitung $i$ vergessen. Bei dieser vorherigen Trennung passiert Dir das nicht.
2. Du kannst für das Produkt im Zähler die Fakultät-Funktion nutzen, denn zum Beispiel ist ja
$$n(n-1)(n-2)=\frac{n!}{(n-3)!}$$Versuche mal, das zu verwenden.

Ciao,

Thomas



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-21



Ups... das i hab ich übersehen.
Es mit der Fakultät zu vereinfachen hab ich davor schon probiert...aber das geht ja dann nur für k>2...deshalb bin ich bei der Version mit dem Produkt geblieben.
Aber vielleicht hab ich ja auch etwas falsch gemacht:
fed-Code einblenden



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-02-21


Hallo Drgglbchr,
wie kommst Du auf das (k-2)? Setz doch mal zur Probe k=1 ein. Das kann gar nicht stimmen. Außerdem hast Du vermutlich übersehen, dass Du das n! im Zähler schön gegen das (n+1)! im Nenner kürzen kannst. Du bist auf einem guten Weg, es hapert nur an Kleinigkeiten.

Ciao,

Thomas




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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-22


Auf das k-2 komme ich, weil das Produkt bis n-(k-1) gehen soll. Und dann hab ich einfach den Doppelbruch aufgelöst.
Aber ich rechne es gleich nochmal durch :)



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-02-22


Hallo Drgglbchr,
2020-02-22 10:39 - Drgglbchr in Beitrag No. 12 schreibt:
weil das Produkt bis n-(k-1) gehen soll.
das ist mir klar, aber Du bist mit der Klammer und dem doppelten Minus durcheinander gekommen. Ich wiederhole mich: setze k=1 zur Probe ein. Die k-te Ableitung von $t^n$ ist
$$\frac{n!}{(n-k)!}t^{n-k}$$wovon man sich leicht überzeugt, wenn man k=0, 1, 2... einsetzt.

Ciao,

Thomas



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-22


Achja stimmt.
Dann ist die k-te Ableitung

fed-Code einblenden



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-22


Und das k-te Moment wäre dann folglich
fed-Code einblenden
Richtig? :)



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-02-22


Hallo Drgglbchr,
jepp.

Ciao,

Thomas



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-22


Danke :)



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