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 Kompakte Mannigfaltigkeit (dim n), Immersion in R^n |
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Lea5619
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Wie kann man zeigen, dass auf einer kompakten Mannigfaltigkeit mit Dimension n keine Immersion in den euklidischen Raum der Dimension n gibt?
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lucceius
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|      Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-20
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Lea5619
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20
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Hmmm. Ich habe gelesen, dass jede n-dim Untermannigfaltigkeit des R^n offen ist.
Wenn $M$ also eine kompakte Untermannigfaltigkeit ist, dann ist das Bild $F(M)$ aufgrund der Stetigkeit kompakt und damit abgeschlossen. Also hätten wir ein Widerspruch...
Gilt das so?
Aber warum ist jede n-dim Untermannigfaltigkeit des $R^n$ offen?
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lucceius
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-20
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Fabi
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-20
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Hi,
So ganz reicht das noch nicht; versuche einmal elementar zu begründen, warum die abgeschlossene Einheitskreisscheibe im $\mathbb{R}^n$ keine kompakte n-dimensionale Mannigfaltigkeit (ohne Rand) ist.
vG,
Fabi
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"There would be the mathematical equivalent of worldwide rioting." (P.C.)
Willst du Hamburg oben sehen, musst du die Tabelle drehen.
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Lea5619
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20
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Dass diese Teilmenge $\mathbb{R}^n$ entspricht.
Also ist das Bild von $F$ ganz $\mathbb{R}^n$, was keine Untermannigfaltigkeit ist, weil eine Untermannigfaltigkeit eine Teilmenge ist. Deshalb ist $F$ keine Immersion. Ist das dann der Widerspruch?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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Lea5619
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-21
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Hi,
warum ist das mit der Einheitskugel relevant?
Und ich denke die Einheitskreisscheibe ohne Rand ist keine kompakte Untermannigfaltigkeit, weil sie ohne Rand nicht abgeschlossen ist und damit im endlichen $\mathbb{R}^n$ nicht kompakt...
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lucceius
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-21
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2020-02-20 22:59 - Lea5619 in Beitrag No. 5 schreibt:
Dass diese Teilmenge $\mathbb{R}^n$ entspricht.
Also ist das Bild von $F$ ganz $\mathbb{R}^n$, was keine Untermannigfaltigkeit ist, weil eine Untermannigfaltigkeit eine Teilmenge ist. Deshalb ist $F$ keine Immersion. Ist das dann der Widerspruch?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.] Nein. Der Widerspruch liegt in der Kompaktheit:
  
\ F(M) = \IR^n, wie du bereits sagtest. Aber M ist kompakt und \IR^n nicht.
Gruß
lucceius
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