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    Analysis » Topologie » Kompakte Mannigfaltigkeit (dim n), Immersion in R^n    		Druckversion
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    Autor
    Universität/Hochschule Kompakte Mannigfaltigkeit (dim n), Immersion in R^n
    Lea5619
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-20


    Wie kann man zeigen, dass auf einer kompakten Mannigfaltigkeit mit Dimension n keine Immersion in den euklidischen Raum der Dimension n gibt?

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    lucceius
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-20


    Hallo Lea5619,

    ich gehe davon aus, dass du die folgende Aussage zeigen möchtest:
    fed-Code einblenden
    Ein Tipp: Falls es so eine Abbildung doch gibt, so verwendet man den Satz von der Umkehrabbildung und erhält einen lokalen glatten Diffeomorphismus
    fed-Code einblenden
    Außerdem sind wir in einem Hausdorffraum und unsere Mannigfaltigkeit ist kompakt ...

    Ich hoffe, dass das hilft.

    Gruß
    lucceius

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    Lea5619
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20


    Hmmm. Ich habe gelesen, dass jede n-dim Untermannigfaltigkeit des R^n offen ist.
    Wenn $M$ also eine kompakte Untermannigfaltigkeit ist, dann ist das Bild $F(M)$ aufgrund der Stetigkeit kompakt und damit abgeschlossen. Also hätten wir ein Widerspruch...
    Gilt das so?
    Aber warum ist jede n-dim Untermannigfaltigkeit des $R^n$ offen?

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    lucceius
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-20


    Ein lokaler Diffeomorphismus ist insbesondere eine offene Abbildung (Übung: beweisen!), daher ist das Bild von fed-Code einblenden
    in fed-Code einblenden offen.
    Ich denke, du hast den Widerspruch noch nicht herausgearbeitet. Was ist die Konsequenz, wenn eine Teilmenge von fed-Code einblenden
    offen, abgeschlossen und nichtleer ist?

    Gruß
    lucceius

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    Fabi
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-20


    Hi,

    2020-02-20 21:44 - lucceius in Beitrag No. 3 schreibt:
    Ein lokaler Diffeomorphismus ist insbesondere eine offene Abbildung (Übung: beweisen!), daher ist das Bild von fed-Code einblenden
    in fed-Code einblenden offen.
    Ich denke, du hast den Widerspruch noch nicht herausgearbeitet. Was ist die Konsequenz, wenn eine Teilmenge von fed-Code einblenden
    offen, abgeschlossen und nichtleer ist?

    Gruß
    lucceius

    So ganz reicht das noch nicht; versuche einmal elementar zu begründen, warum die abgeschlossene Einheitskreisscheibe im $\mathbb{R}^n$ keine kompakte n-dimensionale Mannigfaltigkeit (ohne Rand) ist.

    vG,
    Fabi


    -----------------
    "There would be the mathematical equivalent of worldwide rioting." (P.C.)

    Willst du Hamburg oben sehen, musst du die Tabelle drehen.

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    Lea5619
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20


    Dass diese Teilmenge $\mathbb{R}^n$ entspricht.
    Also ist das Bild von $F$ ganz $\mathbb{R}^n$, was keine Untermannigfaltigkeit ist, weil eine Untermannigfaltigkeit eine Teilmenge ist. Deshalb ist $F$ keine Immersion. Ist das dann der Widerspruch?

    [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]

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    Lea5619
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-21


    Hi,
    warum ist das mit der Einheitskugel relevant?
    Und ich denke die Einheitskreisscheibe ohne Rand ist keine kompakte Untermannigfaltigkeit, weil sie ohne Rand nicht abgeschlossen ist und damit im endlichen $\mathbb{R}^n$ nicht kompakt...

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    lucceius
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-21


    2020-02-20 22:59 - Lea5619 in Beitrag No. 5 schreibt:
    Dass diese Teilmenge $\mathbb{R}^n$ entspricht.
    Also ist das Bild von $F$ ganz $\mathbb{R}^n$, was keine Untermannigfaltigkeit ist, weil eine Untermannigfaltigkeit eine Teilmenge ist. Deshalb ist $F$ keine Immersion. Ist das dann der Widerspruch?

    [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
    Nein. Der Widerspruch liegt in der Kompaktheit:
    fed-Code einblenden

    Gruß
    lucceius

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