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 Vektorräume (geordnete Basis) |
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Themenstart: 2001-12-19
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Hallo zusammen,
Wer kann mir bei folgender Aufgabe helfen?
zeige: Ein Tupel (v1,...,vn) mit neN von Vektoren aus V ist genau dann eine geordnete Basis von V, wenn folgendes gilt:
Zu jedem Tupel (w1,...,wn) von Vektoren aus W gibt es genau eine lineare Abbildung j (vi)=wi für 1 £ i £ n. 
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14611
Wohnort: Solingen
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2001-12-19
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Hi,
das ist aber eine unangenehme Aufgabe. Was fehlt Dir denn? Die Hinrichtung oder die Rückrichtung oder beide?
Gruß
Matroid
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14611
Wohnort: Solingen
|  Beitrag No.2, eingetragen 2001-12-20
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Zeige:
Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder der Basisvektoren bereits eindeutig bestimmt.
Beweis
Wenn (vi) Basis von V, dann ist (vi) auch ein Erzeugendensystem.
Wähle nun n beliebige Vektoren aus W, nämlich w1,....,wn
Definiere die Abbildung f: V->W durch
f(vi) := wi
für i=1,...,n.
Das ist zunächst mal eine Abbildung von {v1,...,vn} -> W.
Ein beliebiges v eV kann dann als Linearkombination der vi geschrieben werden.
Also:
v = c1*v1+...+cn*vn
[mit ci e IK, denn ich nehme an, daß V ein allgemeiner
K-Vektorraum ist.]
Die Darstellung bzgl. der Basis (vi) ist eindeutig bestimmt.
Für die Abbildung erklärt man nun die Fortsetzung f' von f für alle veV so:
Wenn v = c1*v1+...+cn*vn, dann setze f'(v) = c1*f(v1) + .... + cn*f(vn).
Dann ist f' eine gesuchte lineare Abbildung.
Es soll nun gezeigt werden, daß es genau eine
lineare Abbildung f:V->W
gibt mit f(vi)=wi.
Bei Eindeutigkeitsbeweisen nimmt man i.d.R. an, daß es zwei solche
Abbildungen gibt und zeigt, daß diese beiden gleich sein müssen
(oder man leitet daraus einen Widerspruch her). Dann hat man gezeigt,
daß es höchstens eine Abbildung geben kann.
Angenommen, es gibt zwei solche Abbildungen f und g.
Will zeigen, daß für beliebige xeV gilt: f(x) = g(x), die Abbildungen
also für alle xeV gleiche Ergebnisse liefern - also identisch sind.
Weil die (vi) eine Basis sind, kann man x als Linearkombination der vi
darstellen kann.
=> f(x) = f(c1*v1 + c2*v2 + ... + cn*vn)
= c1*f(v1) + c2*f(v2) + ... + cn*f(vn)
Analog:
=> g(x) = g(c1*v1 + c2*v2 + ... + cn*vn)
= c1*g(v1) + c2*g(v2) + ... + cn*g(vn)
[Die Koeffizienten ci sind bzgl. einer Basis eindeutig bestimmt]
Weil nach Voraussetzung f(vi) = ui = g(vi), stimmen also g(x) und f(x) überein.
qed.
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2001-12-20
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matroid
Senior
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14611
Wohnort: Solingen
| Beitrag No.4, eingetragen 2001-12-20
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Aber die Rückrichtung habe ich nicht gezeigt.
Die Hinrichtung ist extrem wichtig. Das Argument
Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig gegeben
wird in kommenden Beweise immer wieder verwendet.
Die Rückrichtung ist eher wenig nützlich. Man prüft lineare Unabhängigkeit einfacher als durch den Nachweis der Existenz genau einer linearen Abbildung.
Für den Beweis der Rückrichtung kann man vielleicht zeigen, daß aus
"die vi sind keine Basis"
die Existenz von mindestens 2 linearen Abbildungen folgt.
Also anstatt [B => A] zeige [¬A => ¬B]
Wenn die vi zwar linear unabhängig sind, aber keine Basis, dann können sie zu einer Basis durch Hinzunahme von v'1,...,v'k ergänzt werden. Dann kann man aber bei f' die v'i auf beliebige Vektoren aus W abbilden. Und darum gibt es mehrere lineare Abbildungen.
Wenn die vi aber nicht linear unabhängig sind, dann kann man z.B. v1 als Linearkombination der übrigen vi schreiben. Und dann muß man weiter denken, bis man heraus hat, daß auch dann mehrere Abbildungen möglich sind.
Gruß
Matroid
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