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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Körpererweiterungen rein inseparabler & separabler Part
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Universität/Hochschule Körpererweiterungen rein inseparabler & separabler Part
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-08


N'Abend Leute,

ich habe zwei Fragen über grundsätzliche Eigenschaften von algebraischen Körpererweiterungen, die in einen Beweis an dem ich grad etwas verzweifle einfliessen. Das ist aus Janos Kolloar's Lecture on Resolution of Singularities  Theorem 1.33 (Seite 25). Habe die Frage schon auf MathStackEx gestellt: Im englischen Wortlaut:

>THEOREM 1.33 Let $S$ be an integral domain that is finitely generated over a field $k$, and let $F \subset Frac(S)$ be a finite field extensionof it's quotient field. Then the normalization of $S$ in $F$ is finite over $S$.

Das meiste aus dem Beweis verstehe ich bis auf die paar Stellen auf die ich gleich komme. Die grobe Beweisstrategie ist: Nach dem Noether-Normalisierungssatz ist $S $ endlich über $R=k[x_1,...,x_n]$, also reicht das aus, die endliche Erweiterung $k(x_1,...,x_n) \subset F$ zu untersuchen.

>Proof. [...] $F$ is a finite extension of $k(x_1,...,x_n)$ so there is a finite purely inseparable extension $E/k(x_1,...,x_n)$ such that $EF/E$ is separable. (???) Every finite purely inseparable extension of $k(x_1,...,x_n)$ is contained in a field $k'(x_1^{p^{-m}},...,x_n^{p^{-m}})$, where $k'/k$ is finite and purely inseparable (???) [...]


Da ergeben sich zwei Fragen:

erste Frage: Wieso führt der Autor eine endliche rein inseparable Erweiterung $E/k(x_1,...,x_n)$ ein, mit der Eigenschaft, dass $EF/E$ separabel ist? Das suggeriert das diese $E$ möglicherweise nicht in $F$ enthalten sein muss.

Wäre es  nicht didaktisch sinnvoller zu argumentieren dass $F$ eine Zwischenerweiterung $k(x_1,...,x_n) \subset E \subset F$ enthält, mit  $E/k(x_1,...,x_n)$ rein inseparabel und $F/E$ separabel? Ich weiß nich, wieso man ein solchen Zwischenkörper in $F$ nicht immer finden könnte. Genauer: ich nehme alle Elemente aus $F$ deren Minimalpolynom die Form $X^n-c \in k(x_1,...,x_n)[X]$. Dann sind wir nach wie vor in $F$.

Wieso macht Kollar den Umweg über $EF/E$ was suggeriert dass es passieren kann, dass $EF$ größer als $F$ ist.

zweite Frage: Warum ist jede rein inseparable Erweiterung von $k(x_1,...,x_n)$ enthalten in einem Zwischenkörper der Form $k'(x_1^{p^{-m}},...,x_n^{p^{-m}})$ wobei $k'/k$ endlich + rein inseparabel?


Zur zweiten versuche ich so zu argumentieren. Sei $L$ rein inseparable Erweiterung von $k(x_1,...,x_n)$. $L$ endliche Erwieterung, also $L=k(x_1,...,x_n)(a_1,...,a_d)$ mit $a_i \in L$ rein insep. Sei $f_i= X^{p^{n_i}} -c_i$ MinPol von $a_i$, $c_i \in k(x_1,...,x_n)$, also $c_i = g_i/h_i$ mit $g_i, h_i \in k[x_1,...,x_n]$.

dann $g_i = \sum_{i_1,i_2,...,i_n: \sum i_k \le deg \ g_i} r_{i_1,i_2,...,i_n} x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_n^{i_n}$, $h_i = \sum_{i_1,i_2,...,i_n: \sum i_k \le deg \ g_i} s_{i_1,i_2,...,i_n} x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_n^{i_n}$.

Wir adjungeieren $x_k ^{1/p^{n_i}},r_{i_1,i_2,...,i_n}  ^{1/p^{n_i}}, s_{i_1,i_2,...,i_n}  ^{1/p^{n_i}}$.

Nun machen wir das gleiche für alle $a_i$ und bilden $m:=kgV(n_i \ \vert \ 1 \le i \le d)$.

Erhalten $k'(x_1^{p^{-m}},...,x_n^{p^{-m}})$ wobei $k'$ durch adjunktion aller $p^{n_i}$-then Wurzeln aller Koeffizienten $r_{i_1,i_2,...,i_n}$ und $s_{i_1,i_2,...,i_n}$ zu allen $a_i$ entsteht. Das wärs. Ist der Beweis zur zweiten Frage ok?

Was erste Frage angeht, keine Ahnung was da Kollar gemeint hat. Sieht das jemand?






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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-11 11:42


In der Formulierung von Theorem 1.33 müsste die Inklusion $\mathrm{Frac}(S) \subseteq F$ lauten.

Zur ersten Frage:

Wenn $L/K$ eine algebraische Erweiterung ist, dann findet man immer einen Zwischenkörper $K_s$, sodass $K_s / K$ separabel und $L / K_s$ rein inseparabel ist (Bosch, Algebra, 3.7/4). Wenn $L/K$ zusätzlich normal ist, findet man außerden einen Zwischenkörper $K_i$, sodass $K_i / K$ rein inseparabel und $L / K_i$ separabel ist (Bosch, Algebra, 3.7/5). Auf die Normalität kann man nicht verzichten. Dein Ansatz, die rein inseparablen Elemente zu betrachten (übrigens stimmt der Exponent in deinem Minimalpolynom nicht), funktioniert leider nicht.

Wir können aber eine "verschobene" Erweiterung finden, wie es Kollár macht: Sei $L/K$ eine algebraische (bzw. endliche) Erweiterung. Sei $M/K$ die normale Hülle von $L/K$. Dann ist $M/K$ algebraisch (bzw. endlich). Wenden wir den Satz von Bosch auf die normale Erweiterung $M/K$ an, erhalten wir also einen Zwischenkörper $E$ (der nicht unbedingt in $L$ enthalten sein muss), sodass $E / K$ rein inseparabel und $M / E$ separabel ist. Wegen $E L \subseteq M$ ist dann auch $E L / E$ separabel.

Zur zweiten Frage:

Der Beweis ist OK. Man kann ihn aber abkürzen: Sei $L/K$ eine endliche rein inseparable Erweiterung der Charakteristik $p>0$ und o.E. $L \subseteq K^{alg}$. Dann gibt es ein $m \geq 0$ mit $L \subseteq K^{p^{-m}}$. Denn wenn $L=K(a_1,\dotsc,a_d)$ und etwa $a_i^{p^{m_i}} \in K$, setze $m := \mathrm{kgV}(m_1,\dotsc,m_d)$. Dann gilt $a_i \in K^{p^{-m}}$ für alle $i$ und damit $L \subseteq K^{p^{-m}}$.

Für $K = k(x_1,\dotsc,x_n)$ gilt nun (einfach weil der Frobenius ein Homomorphismus ist) $k(x_1,\dotsc,x_n)^{p^{-m}} = k^{p^{-m}}(x_1^{p^{-m}},\dotsc,x_n^{p^{-m}})$. Die Behauptung folgt sofort.



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