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  Gittervektoren, WSZ und Basis |
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Tidus2k6
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 |  Themenstart: 2020-03-11
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Hi! Zur Klausurvorbereitung habe ich einige Fragen zur Kristallstruktur
Ein Bild ist angehängt wo ich mir gerade nicht ganz sicher bin, ob meine Einzeichnungen korrekt sind.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/32523_gitter.PNG
1.) Ist dies ein monokline Kristallstruktur? In der sehr kurzen Lösungsübersicht ist ein Basisvektor b gegeben, welches senkrecht zu a1 steht. Mit dem Basisvektor b sähe es für mich nach einem primitiven kubischen Gitter aus. Das verwirrt mich gerade (dort wird kein Gittertyp genannt).
2.) Die gewählte Basis (orange) besitzt ein A und 2 B Atome (eins oberhalb und eins unterhalb). Könnte man da auch nicht 2 B Atome Oberhalb eines Atoms nehmen?
3.) Die WSZ hat eine optisch (für mich) nicht ganz richtige Form oder kommt dies doch hin?
Grüße!
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Orangenschale
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-11
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Hallo Tidus2k6,
für mich sieht es nach einer monoklinen Kristallstruktur (in zwei Dimensionen) aus. Schau mal hier. Beide Gittervektoren sind unterschiedlich lang. Kannst du kurz erklären, wo du ein kubisches Gitter siehst?
Bei 2) hast du Recht, die Wahl der Basis ist mehr oder weniger willkürlich, solange am Ende der gleiche Kristall beschrieben wird. Es gibt (wortwörtlich) unendlich viele Möglichkeiten eine Kristallbasis zu wählen.
Erklärst du noch, was du an der Wigner Seitz Zelle seltsam findest. Sie ist eigentlich korrekt konstruiert. Bedenke, dass für die WSZ die atomare Basis keine Rolle spielt, sondern nur das Kristallgitter berücksichtigt wird.
Viele Grüße
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Tidus2k6
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-11
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Vielen Dank für deine Antworten!
Anbei eine kleiner Ausschnitt der "Musterlösung". Den vollständigen Link dazu, habe ich dir per privat Nachricht gesendet.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/32523_gitter2.PNG
Dort existieren die Gittervektoren b* und a2. Aber ich glaube ich verstehe warum es kein kubischen Gitter sein kann, da die Gittervektoren (b*, a2 oder auch b) nicht gleichlang sind.
Die WSZ sah für mich von den proportionen der Seitenlängen nicht gleichmäßig aus, ich hätte erwartet dass es ein gleichmäßig geformtes Sechseck ergeben müsste, daher meine verunsicherung.
Grüße!
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Orangenschale
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-11
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Hallo Tidus2k6,
ich habe zwar keine persönliche Nachricht [EDIT: Doch, habe ich mittlerweile.] bekommen, aber das Bild reicht ja auch aus.
Wie du schon richtig erkannt hast, sind die beiden Gittervektoren nicht gleich lang. Du kannst es sowohl als monoklines System als auch orthorhombisches System beschreiben, wobei das orthorhombische Gitter die doppelte Fläche hat und somit auch die doppelte Größe der Basis erfordert.
Die Wigner Seitz Zelle wäre im hexagonalen Gitter ein gleichmäßiges Sechseck, aber nicht im Fall des unsymmetrischeren monoklinen Gitters.
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Tidus2k6
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-12
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Danke für deine ausführliche Hilfe!
Eine letzte Frage zu Gittern hätte ich aber noch. Hat jetzt nur indirekt etwas mit dem o.g. Problem gemeinsam.
Undzwar kann man primitive Gittervektoren a1,a2,a3 (Ortsraum) auf zwei wege in den reziproken Raum überführen.
Das wäre ja zum einen die Anwendung von:
\[ \vec{b}_1 = \frac{2 \cdot \pi}{ \vec{a}_1(\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)} \cdot \vec{a}_2 \times \vec{a}_3 \]
\[ \vec{b}_2 = \frac{2 \cdot \pi}{ \vec{a}_1(\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)} \cdot \vec{a}_3 \times \vec{a}_1 \]
\[ \vec{b}_3 = \frac{2 \cdot \pi}{ \vec{a}_1(\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)} \cdot \vec{a}_1 \times \vec{a}_2 \]
Als auch per Definition:
\[ e^{i \vec{G} \vec{T}} = 1 \]
berechnet werden.
Ich bin jetzt unterschiedlichste Aufgaben durchgegangen und habe gesehen, das bei manchen das eine und bei manchen das andere für die Berechnung herangezogen wird. Würdest du mir vielleicht das noch erklären : ) ?
Grüße!
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Orangenschale
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-12
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Hallo Tidus2k6,
gern, vielen Dank für deine Rückmeldung, worüber ich mich auch freue.
Du sprichst da von zwei Wegen, die ins reziproke Gitter führen. Meiner Meinung nach stimmt das nicht so ganz, denn letztendlich ist es nur eine Umformulierung.
Bei der Herleitung der reziproken Gittervektoren stößt man irgendwann auf die Relation $$e^{i\vec G \vec T}=1$$ mit $\vec T=n_1 \vec a_1 + n_2 \vec a_2 +n_3 \vec a_3 $, der jeden beliebigen Gitterpunkt des Kristallgitters für ganzzahlige Werte von $n_i$ beschreibt.
Soweit so gut, also sucht man alle Punkte des reziproken Gitters, die obige Relation erfüllen und kommt auf eine explizite Darstellung von $\vec G$ als $$\vec G=m_1 \vec b_1 + m_2 \vec b_2 +m_3 \vec b_3 $$ wobei sich die reziproken Gittervektoren durch die Relation $$\vec b_1 = \frac{2\pi}{V} \vec a_2\times \vec a_3$$ (und zyklische Vertauschung) ergeben. $V$ ist das Volumen der Elementarzelle, die von den Vektoren des Kristallgitters aufgespannt wird, also $V=|\vec a_1\cdot(\vec a_2\times \vec a_3)|$.
Die Gittervektoren des realen und reziproken Gitters erfüllen dabei die "Orthogonalitätsrelation" $$\vec a_i \vec b_j = 2\pi\delta_{ij}$$
Das wusstest du vermutlich schon alles, also gehen wir mal einen Schritt weiter.
Manchmal ist es einfach Mühsam, die Kreuzprodukte auszurechnen. Im kubischen Gitter ist es sofot klar, in welche Richtung die Vektoren des reziproken Gitters zeigen. Man verwendet dann praktisch direkt die Orthogonalitätsrelation.
Es gibt noch einen dritten Weg (den ich mittlerweile so für numerische Berechnungen verwende) um die reziproken Gittervektoren zu berechnen. Trägt man die drei Gittervektoren in eine Matrix $A$ ein (entweder in die Zeilen oder Spalten, das spielt keine Rolle) so schreibt sich die Orthogonalitätsrelation als Matrixprodukt $$A \cdot B^T=2\pi E$$ ($E\ldots$Einheitsmatrix). Nun kann man die reziproken Gittervektoren durch Umstellen leicht erhalten: $$B=2\pi (A^{-1})^T.$$
Das ist vielleicht keine Methode für den Schreibtisch, aber dennoch finde ich ist es eine schöne Umformulierung.
Viele Grüße
OS
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