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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Diffeomorphismus
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Kein bestimmter Bereich Diffeomorphismus
Lea5619
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-23


Hallo,

es geht darum zu zeigen, dass $f:(\mathbb{R}, x_1) \rightarrow (\mathbb{R},x_2)$ mit $f(x)=x^3$ ein Diffeomorphismus ist. Dabei sind die differenzierbaren Strukturen $(\mathbb{R},x_1)$ und $(\mathbb{R},x_2)$ jeweils durch $x_1(x)=x$ und $x_2(x)=x^3$ gegeben.

Dass $f$ differenzierbar und bijektiv ist, ist denke ich klar, oder?
Und ebenso, dass die inverse Funktion $\frac{1}{x^3}$ differenzierbar ist?

Oder was übersehe ich?

Vielen Dank!



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-23


Hallo Lea,

die inverse Funktion ist die Umkehrabbildung und nicht der Kehrwert.

Wally



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Lea5619
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-23


Hallo Wally,

dann ist ja die inverse Funktion $x \rightarrow \sqrt[3]{x}$.
Aber dann verstehe ich nicht, warum die Umkehrfunktion differenzierbar sein soll, weil sie ja für negative Werte nicht definierbar ist und damit in $0$ doch nicht differenzierbar ist, oder woran liegt das?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Lea,

die dritte Wurzel ist für negative Argumente definiert (\(\sqrt[3]{-8}=-2\)), aber in Null nicht differenzierbar, stimmt.

Bitte lies deine Aufgabe noch mal ganz genau. "dass" es ein Diffeomorphismus ist oder "ob" es einer ist?

Wally
\(\endgroup\)


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Lea5619
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-23


Hallo Wally,

in der Aufgabe steht, "dass" es ein Diffeomorphismus ist. Es ist leider auf Spanisch, sonst könnte ich ein Bild posten.

Ist das also falsch?

Und in einer anderen Aufgabe ging es darum zu zeigen, dass $Id_{\mathbb{R}}:(\mathbb{R},x_1) \rightarrow (\mathbb{R},x_2)$ KEIN Diffeomorphismus ist. Aber hierbei ist ja auch $Id_{R}$ durch $\sqrt[3]{x}$ gegeben (und deshalb in $0$ nicht differenzierbar und kein Diffeomorphismus...)

Ist das letzte über die andere Aufgabe korrekt?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}}\)
Hallo,

beide Aufgaben sind korrekt. Du musst die differenzierbaren Strukturen berücksichtigen.

2020-03-23 20:05 - Lea5619 in Beitrag No. 4 schreibt:
Und in einer anderen Aufgabe ging es darum zu zeigen, dass $Id_{\mathbb{R}}:(\mathbb{R},x_1) \rightarrow (\mathbb{R},x_2)$ KEIN Diffeomorphismus ist. Aber hierbei ist ja auch $Id_{R}$ durch $\sqrt[3]{x}$ gegeben (und deshalb in $0$ nicht differenzierbar und kein Diffeomorphismus...)
So wie du es geschrieben hast stimmt es natürlich nicht. Du solltest schon dazu sagen, dass du die Abbildung in lokalen Koordinaten betrachtest. Dann stimmt dein Argument.
\(\endgroup\)


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Lea5619
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-23


Hallo Nuramon,

ich weiß nicht, was ich weiter machen muss, um die differenzierbaren Strukturen zu berücksichtigen.
Was fehlt dabei?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-03-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}}\)
Irgendwo in deiner Lösung müssen die Abbildungen $x_1$ und $x_2$ vorkommen.

Sieh dir die Definition einer differenzierbaren Abbildung noch einmal an.

Es wird darauf hinauslaufen, dass du zur Abbildung $f:(\IR,x_1) \to (\IR,x_2)$ (eine Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten) eine Abbildung $\tilde f: \IR\to \IR$ (eine Abbildung zwischen den ganz gewöhnlichen reellen Zahlen) betrachten musst.

\(\endgroup\)


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Lea5619
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-23


$f$ ist doch in diesem Fall gegeben durch $x_2°{x_1}^{-1}$.
Ist $\tilde{f}$ die Identität?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-03-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}}\)
$f$ heißt differenzierbar, wenn $\tilde f := x_2\circ f \circ x_1^{-1}$ differenzierbar ist.
\(\endgroup\)


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Lea5619
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-24


Das heißt, $f$ ist differenzierbar, weil $\tilde f = x^9$ differenzierbar ist?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-03-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}}\)
Kannst du bitte eure Definition überprüfen? Wahrscheinlich verwendet ihr eine andere Konvention, als ich zuerst dachte: Die Abbildungen $x_1$ und $x_2$ gehen in eurer Definition vermutlich in die jeweils umgekehrte Richtung (also von $\IR$ in den topologischen Raum hinein, nicht von dem topologischen Raum nach $\IR$).

Per Definition ist dann also $f$ differenzierbar, genau dann wenn $x_2^{-1}\circ f \circ x_1$ differenzierbar ist.

\(\endgroup\)


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Lea5619
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-25


Ah, ja die gehen vom $\mathbb{R}$ in den topologischen Raum.

Dann ist $\tilde f = x_2^{-1} \circ f \circ x_1 = x$, weil ja die Umkehrfunktion von $x_2$ die Funktion $x \rightarrow \sqrt[3]{x}$ ist und damit differenzierbar, oder?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-03-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}}\)
Ja. Um zu überprüfen, dass $f$ ein Diffeomorphismus ist, musst du jetzt auch noch die Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung von $f$ überprüfen.
\(\endgroup\)


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Lea5619
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-27


Muss ich dann dafür die Differenzierbarkeit von $x_1^{-1} \circ f^{-1} \circ x_2$ betrachten?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-03-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}}\)
Ja.

2020-03-25 06:30 - Lea5619 in Beitrag No. 12 schreibt:
Dann ist $\tilde f = x_2^{-1} \circ f \circ x_1 = x$
Es muss heißen $\tilde f(x) = (x_2^{-1} \circ f \circ x_1) (x) = x$ für alle $x\in \IR$. Oder alternativ $\tilde f = x_2^{-1} \circ f \circ x_1 = \id_\IR$.
\(\endgroup\)


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Lea5619 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Lea5619 hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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