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Analysis » Maßtheorie » Integration bezüglich Maß
Autor
Kein bestimmter Bereich Integration bezüglich Maß
YouDoKnowJack
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.06.2014
Mitteilungen: 18
  Themenstart: 2020-03-24

Hallo Leute, beim Durcharbeiten eines Skripts bin ich auf folgendes Problem gestoßen: Gegeben sind zwei W'räume $(X,\mathcal{A},\mu)$ und $(Y,\mathcal{B},\nu)$ sowie eine Abbildung $T:X\to Y$ so, dass $$\nu(B)=\mu(T^{-1}(B))\hspace{1em}\forall B\in\mathcal{B}.$$ Es wird ein W'maß $\pi$ auf dem kartesischen Produkt der Räume $X$ und $Y$ definiert durch die Beziehung $$\mathrm{d}\pi(x,y)=\mathrm{d}\mu(x)\delta_{y=T(x)}.$$ Wie berechne ich nun für gegebene Teilmengen $A\in\mathcal{A}$ und $B\in\mathcal{B}$ die Ausdrücke $\pi(A\times Y)$ und $\pi(X\times B)$? Mein Problem ist, dass diese Beziehung nirgendwo erklärt wird. Ich scheiter schon daran, mir klar zu machen, wie das W'maß $\pi$ konkret aussieht. $\pi(A,B)=\mu(A)\delta_{T(A)}(B)$ ist wohl falsch, oder? Gruß YDKJ

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SabineMueller
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Mitteilungen: 314
  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-24

Hi YouDoKnowJack, du müsstest eben die konstante 1-Funktion über den angegebenen Mengen integrieren, d. h. $$\pi(A\times Y)=\int_{A\times Y}1(x,y)\,d\pi(x,y)=\ldots$$

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YouDoKnowJack
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.06.2014
Mitteilungen: 18
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-24

Hi, danke für die Antwort. Wie rechne ich dann weiter? D.h. wie gehe ich mit diesem Maß und konkret mit dem Diracmaß um? Am Ende soll übrigens $\pi(A\times Y)=\mu(A)$ bzw. $\pi(X\times B)=\nu(B)$ da stehen. Gruß YDKJ

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