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Universität/Hochschule Erzeugende der kanonischen Transformation
max20001403
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-29


Hallo zusammen!

Ich habe ein Problem, was die Erzeugende der kanonischen Transformation betrifft:
In meinem Buch steht, dass F(q,Q,t) die erzeugnde ist, wobei q die alte und Q die neue Variable beschreibt. Und obwohl da eins zu eins "Bezüglich F sind q, Q und t als unabhängige Variablen anzusehen" steht, steht kurz danach Q(q,p,t).


Ich verstehe nicht, wie die Variablen q und Q unabhängig sein sollen, wenn sie doch voneinander (zumindest über die Transformationsgleichungen) abhängen.

Würde mich über eure Hilfe freuen
LG



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo max20001403,

mit der Aussage, dass $q,Q,t$ bezüglich $F$ als unabhängige Variablen zu sehen sind, ist gemeint, dass wenn man $F$ untersucht (wahrscheinlich vor allem, wenn man das Differential bestimmen will), man $F$ als Funktion $F:\underbrace{\R^3}_q\times\underbrace{\R^3}_Q\times\underbrace{\R}_t\to\R$ untersucht. Wenn du allerdings $Q$ als Funktion von $q,p,t$ betrachtest, dann würde man eigentlich $F\circ G$ betrachten, wobei
\[G:\underbrace{\R^3}_{q}\times\underbrace{\R^3}_{p}\times\underbrace{\R}_{t}\longrightarrow\underbrace{\R^3}_q\times\underbrace{\R^3}_Q\times\underbrace{\R}_t\] mit
\[(q,p,t)\mapsto(q,Q(q,p,t),t).\]
Also wenn du $F$ untersuchst, dann sollst du wirklich nur $F$ untersuchen, nicht $F\circ G$. $F\circ G$ ist die Funktion, bei der $Q$ als Funktion von $q,p,t$ betrachtet wird. Bei $F$ ist das nicht der Fall.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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max20001403
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-30


Um ehrlich zu sein, kommt mir das etwas gemogelt vor.
Ich dachte erst, das ich es durch deine Antwort verstanden hätte, aber das ist leider doch nicht der Fall.

Bei einer kanonischen Transformation wechselt man ja von einem Koordinatensatz \((q,p)\) zu einem anderen \((Q,P)\). Diese sind über die Transformationsgleichungen miteinander verknüpft. Man hat also 4n Variablen, aber nur 2n (Transformations-)Gleichungen. Um es jetzt erstmal allgemein zu halten, erscheint es mir sinnvoll, an dieser Stelle zu sagen, dass somit nur 2n Variablen unabhängig sein können, da man sie beliebig wählen kann (wie bei einem unterbestimmten Gleichungssystem).

(Ergibt das soweit erstmal Sinn?)

Damit die Informationen über die Transformationsgleichungen nicht verloren gehen, kommt es mir
auch sinnvoll vor, dass nur folgende erzeugende Funktionen gewählt werden können:

\(F_{1}(q,Q,t), F_{2}(q,P,t), F_{3}(p,P,t), F_{4}(p,Q,t)\)

Solange es allgemein gehalten wird, ergibt es für mich bis jetzt noch Sinn.

Probleme treten dann nur leider mit Beispielen, als auch dem weiteren Verlauf im Buch auf:

Wenn \(Q = q\) und \(P = p\) gilt, kann ich ja akzeptieren, dass diese Variablen unabhängig voneinander sind (also auch für die Funktion \(F_{1}\), aber bei \(Q = pq^2\) und \(P=\frac{1}{q}\) erscheint es mir nicht sonderlich sinnvoll zu behaupten, dass q und Q unabhängig voneinander sind, was dann ja auch für \(F_{2} gelten sollte\)(das Beispiel ist aus einem Buch).

Das andere Problem ist, dass im weiteren Verlauf steht, dass sobald \(F_{1}(q,Q,t)\) bestimmt ist, die Transformationsgleichungen bestimmt werden können, sprich z.B. Q(q,p,t).


Kann es sein, dass ich hier den Ausdruck "unabhängig voneinander" falsch vestehe? Ist damit ggf. gemeint, dass die Variablen "frei gewählt werden können" und das ich die Transformationsgleichungen nur als Möglichkeit der Umrechnung betrachten sollte? ((Wenn ich z.B. in den Koordinaten (Q,P) arbeite und sich Q verändert ist das nicht zwangsweise auf eine Änderung von q zurückzuführen?))


Tut mir leid, dass der Text etwas länger ist und sich zum Teil auch wiederholt. Würde es nur wirklich gerne verstehen und ich zerbreche mir seit gestern den Kopf daran :/
LG



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-30

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Das Problem ist, dass du versuchst, alle physikalisch relevanten Objekte sozusagen als ein großes System aufzufassen, das sich auch nicht trennen lässt. Das ist in den meisten Fällen völlig in Ordnung, führt aber eben zu Verwirrung, wenn doch mal nur eine Teilmenge der Objekte betrachtet werden soll.
Vergiss mal die ganze Physik dahinter, vergiss auch die Transformationsgleichungen. Es geht in diesem Kontext ausschließlich darum, das mathematische Objekt $F$ zu betrachten, und dieses ist eine Funktion in $2n+1$ Variablen ($n$ Orts-, $n$ Impuls- und eine Zeitvariable). Sie wird nicht mit irgendwelchen anderen Funktionen verkettet oder sonstige Spielereien, sondern sie ist einfach eine stinknormale Funktion. Wenn man beispielsweise ihr Differential berechnen will, dann macht man sich keine Gedanken darüber, was passiert, wenn man sie doch verkettet oder sonstwas mit ihr anstellt.

Wenn du jetzt noch eine Transformationsfunktion $G$ hast, mit der die Transformationsgleichung $(q,Q,t)=G(q,p,t)$ festgelegt wurde, dann kannst du anfangen, irgendwelche Funktionen mit $G$ zu verketten. Zum Beispiel $F\circ G$. Dann erhältst du eine andere Funktion. Es handelt sich nicht mehr um die alte Funktion $F$, sondern um eine Verkettung von $F$ mit $G$. Ihr Differential ist auch etwas anderes. Die Aussage "Bezüglich F sind q, Q und t als unabhängige Variablen anzusehen" heißt jetzt: Wir betrachten $F$, nicht $F\circ G$. Man setzt einfach die Gleichungen, die $q$ und $Q$ in Zusammenhang bringen, nicht in $F$ ein.
\(\endgroup\)


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