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Mathematik » Stochastik und Statistik » Stetigkeitsstelle Pseudoinverse
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Universität/Hochschule Stetigkeitsstelle Pseudoinverse
AlphaOmega12
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-29


Hallo zusammen,


sei \(G\) eine Verteilungsfunktion und \(G^{-}\) deren Pseudoinverse, dh. für alle \(y \in (0,1)\)
\[ G^-(y) := \inf \{ x \in \mathbb{R} \, | \, G(x) \geq y \} \, .\] Weiters sei \(X \sim \mathcal{N}(0,1)\). Für einen Beweis bräuchte ich die (bestimmt offensichtliche) Aussage, dass wenn $F$ die Verteilungsfunktion von $G \circ X$ ist, dann ist jede Stetigkeitsstelle \(q\) von \(G^{-}\) auch Stetigkeitsstelle von \(F\).

Die Rechtsstetigkeit von Verteilungsfunktionen legt nahe, dass nur die Linksstetigkeit zu zeigen ist. Mit der Monotonie von \(G^-\) bekomme ich zwar  
\[ \lim_{h \downarrow 0} F(q-h) =  \lim_{h \downarrow 0} \mathbb{P}(G \circ Z \leq q-h) = \lim_{h \downarrow 0} \mathbb{P}(G^- \circ G \circ Z \leq G^-(q-h)) \, ,\] aber das hilft mir ja auch nicht weiter. Also wie die Stetigkeit der Pseudoinversen in \(q\) nutzen?


Besten Dank im voraus und schönen Abend



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-29


Hallo,

zunächst einmal ist die Menge für die $G^{-}(G(x)) \neq x$ höchstens abzählbar und damit eine $\mathbb{P}$-Nullmenge, da $Z$ normalverteilt ist. Weiter sind Wahrscheinlichkeitsmaße stetig von unten. Zusammen lässt sich deine Gleichungskette fortführen:
\[
\lim_{h \downarrow 0} \mathbb{P}(G^{-} \circ G \circ Z \leq G^{-}(q-h)) = \lim_{h \downarrow 0} \mathbb{P}(Z \leq G^{-}(q-h)) = \mathbb{P} \bigg( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{Z \leq G^{-}(q-1/n) \} \bigg) = F(q).
\] Es wurde bei vorletzter Gleichung ausgenutzt, dass $G^{-}$ monoton wachsend ist und bei letzter Gleichung, dass $q$ eine Steitgkeitsstelle von $G^{-}$ ist.



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AlphaOmega12
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-30


Danke für deine Antwort!

Die Schritte bis zur letzten Gleichheit sind mir alle klar, doch dann wirds ein bisschen schwierig:

1. Mir kommt vor du benutzt hier, dass \(\lim_{h\rightarrow 0} G^-(q-h) = G^-(q)\), doch diese Eigenschaft liefert uns bereits die Linksstetigkeit von \(G^-\) als Pseudoinverse einer Verteilungsfunktion. Das heißt eigentlich benutzen wir nicht die (Rechts-)Stetigkeitseigenschaft von \(G^-\) an der Stelle \(q\) und damit auch die Voraussetzung nicht, oder übersehe ich da etwas?

2. Und wenn wir nun fortführen
\[... = \mathbb{P}(Z \leq G^-(q)) = \mathbb{P}(G \circ Z \leq G \circ G^-(q)) \, , \] wie kommen wir da zurück auf \(\mathbb{P}(G \circ Z \leq q )\) ?



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-30


Oh, du hast vollkommen Recht, bei letzter Gleichung ist mir ein Denkfehler passiert. Sorry. Spontan weiß ich leider auch nicht weiter, aber ich denke mal weiter drüber nach.



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AlphaOmega12
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-06


Ich bin mir sehr unsicher, ob das so funktioniert, aber ich hätte gesagt, dass man die Argumentation nach

\[
\lim_{h\downarrow 0} \mathbb{P}(Z \leq G^-(q-h)) = \lim_{h \downarrow 0} \Phi(G^-(q-h)) = \Phi(G^-(q-)) = \Phi(G^-(q))
\]
fortführen kann, nachdem \(\Phi\) stetig ist, und dann erhält man wegen \(G^-(q-) = G^-(q)\) eben

\[
\Phi(G^-(q)) = \mathbb{P}(Z \leq G^-(q))  = \mathbb{P}(Z < G^-(q)) = \mathbb{P}(G \circ Z < q)
\]
womit also

\[
\lim_{h\downarrow 0} \mathbb{P}(G \circ Z \leq q-h) = \mathbb{P}(G \circ Z < q)
\]
gelte, was nach meinem Verständnis ja die Stetigkeit in \(q\) zeigen würde.  Irgendwas kann da aber nicht stimmen, da die Stetigkeit ja im Grunde nicht benutzt wurde. Hat jemand Ideen dazu?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
fibonacciiccanobif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-07


Hallo zusammen,

Lieber AlphaOmega12, ich denke, dass du da bereits auf der richtigen Spur bist. Versuchs doch mal mit dem Lebesgue'schen Verschiebungssatz ? Der sollte dein Problem lösen, okey !

Beste Grüße



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