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Universität/Hochschule Keine periodischen Lösungen in dynamischem System
shipwater
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-30


Hallo zusammen,

wir betrachten ein System der Form
$$\displaystyle \begin{align*} x'&=u, \\
y'&=v, \\
u'&=f_{11}(x,y)u+f_{12}(x,y)v+f(x,y), \\
v'&=f_{21}(x,y)u+f_{22}(x,y)v+g(x,y), \end{align*} $$
mit stetig differenzierbaren Funktionen $f,g,f_{11},f_{12},f_{21},f_{22}$. Solche Systeme werden hier auf Seite 7-10 betrachtet. Nach dem Beweis von Criterion 5 schreibt der Autor:

"We should also note that if the quantity $f_{11}-f_{22}$ does not change sign in $D$ and is nonzero in $D$, then we have no closed trajectories contained in $D\times \mathbb{R}^2$."

Weiß jemand wie man das beweisen kann? Mir reichen auch schon Ideen, was man probieren könnte, also jede Antwort ist besser als gar keine, auch wenn sie nicht ganz durchdacht ist, könnte mir das helfen 👍

Gruß Shipwater



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shipwater
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-08


Aus den Gleichungen folgt die Identität $(f_{22}-f_{11})uv=uv'-vu'-f_{21}u^2+f_{12}v^2-gx'+fy'$, ich sehe aber momentan noch nicht wie man das gewinnbringend einsetzen kann.

Gruß Shipwater



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-04-20


Hallo,

ich habe jetzt auch mal eine Weile darüber nachgedacht und sehe aus dem, was davor erklärt und bewiesen wird (und was gut nachvollziehbar ist) keinen direkten Weg zu dieser Schlussfolgerung.
Insbesondere kann uv ja das Vorzeichen wechseln und dann ist am Ende das Vorzeichen des entsprechenden Integrals völlig unklar.
Sorry, aber im Moment kann ich da nicht weiterhelfen.

Viele Grüße,
haerter



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shipwater
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-20


Hallo,

ich bedanke mich dennoch für die investierte Zeit. Ansonsten kenne ich nur Bendixson-Dulac um nichtkonstante periodische Lösungen auszuschließen, welches in dieser Einfachheit aber nur für 2D-Systeme gilt. Eine Verallgemeinerung für höhere Systeme findet man z.B. hier unter Theorem 3.3. Bei meinem konkreten System scheint das aber nicht weiterzuhelfen.

Gruß Shipwater



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