Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Doppelfolgen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Doppelfolgen
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-02


Hallo,

angenommen ich habe eine reelle positive Doppelfolge $(a_{n,k})_{(n,k)}, n,k \in \mathbb{N}$ mit den Eigenschaften $\lim_{k \rightarrow \infty} a_{n,k} = 0 \ \forall n$ und $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n,k} $ existiert und ist endlich für alle $ k$ sowie
\[
\lim_{k \rightarrow \infty} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n,k} = 0.
\] Kann ich dann daraus folgern (wenn ja, wieso), dass
\[
\lim_{k \rightarrow \infty} \sup_{n \in \mathbb{N}} a_{n,k} = 0?
\]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 769
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-02


Hallo!

Ja, ich glaube, dass kann man folgern. Mein Versuch:

Laut Voraussetzung gilt für $\epsilon>0$, dass $\forall n\in\mathbb N\,\exists K(\epsilon,n)\in\mathbb N\,\forall k\ge K:|a_{n,k}|<\epsilon.$
Insbesondere $\exists K'(\epsilon)\in\mathbb{N}\,\forall n\in\mathbb N\,\,\forall k\ge K':|a_{n,k}|<\epsilon,$ wenn man $K'(\epsilon):=\max\limits_{n\in\mathbb N}\{K(\epsilon,n)\}$ wählt. Daraus folgt nun, dass für $\epsilon>0$ gegeben alle Einzelfolgen im ersten Index $(a_{n,k})_{n\in\mathbb N}$ mit $k\ge K'(\epsilon)$ die Ungleichung $|a_{n,k}|<\epsilon\,\forall n\in\mathbb N$ erfüllen. Laut Definition ist für ein $k$ $\sup\limits_{n\in\mathbb N}|a_{n,k}|$ die kleinste obere Schranke von $(|a_{n,k}|)_{n\in\mathbb N},$ also $\epsilon>\sup\limits_{n\in\mathbb N}|a_{n,k}|>|\sup\limits_{n\in\mathbb N}a_{n,k}|\,\forall k\ge K'$. Das bedeutet aber gerade, dass $\lim\limits_{k\to\infty}\sup\limits_{n\in\mathbb N}a_{n,k}=0.$

p.s. Die beiden weiteren Voraussetzungen werden m.E. also nicht benötigt, um die Aussage zu beweisen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-02


Vielen Dank für deine Bemühungen!

Ich befürchte aber da stimmt was nicht. Als Gegenbeispiel nenne ich die Folge $n/k$. Diese erfüllt die Bedingung, welche du benutzt, aber offensichtlich nicht die Aussage, welche zu beweisen (oder zu widerlegen) ist. Der Fehler in deiner Argumentation liegt m.E. darin, dass du annimmst, dass $K'$ endlich ist.

Würde mich auch sehr wundern, wenn die eine Bedingung bereits ausreicht, bei so Doppelfolgen muss man leider immer wahnsinnig aufpassen :(



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 769
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-02


Stimmt, der Ansatz ist falsch. Ich glaube nicht, dass man den mit den weiteren Voraussetzungen retten kann.
Ich wundere mich aber über $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n,k}<\infty$. Wenn die Folge ins Negative für ein k divergiert, dann ist $\lim\limits_{k \rightarrow \infty} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{n,k}$ nicht wohldefiniert. Ist vielleicht $|\lim\limits_{n\to\infty}a_{n,k}|<\infty$ gemeint? Oder (exakter), dass jede Folge in  n konvergiert?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-02


Eh, ja, damit ist gemeint, dass die Grenzwerte alle existieren. Sorry, dachte das ist klar so. Ich ändere es und mache es deutlicher.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DavidM
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 295
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-03


Hallo esner,

ich denke, die Aussage ist falsch, $a_{n,k}=\frac{1}{|n-k|+1}$ ist ein Gegenbeispiel. Damit ist $\lim_{k \to \infty} a_{n,k}=0$ für alle $n$ und auch $\lim_{n \to \infty} a_{n,k}=0$ für alle $k$ (denn $a_{n,k}=a_{k,n}$), aber für jedes $k$ ist $\sup_{n \in \mathbb{N}} a_{n,k}=a_{n,n}=1$.

Gruß,
David



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]