Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » klassische Funktionen » Komplexe Zahlen, Tau-Funktion
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Komplexe Zahlen, Tau-Funktion
tomandjerry
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.02.2019
Mitteilungen: 10
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-06


Hallo zusammen,

ich hänge gerade an einem Beweisschritt fest.
Es geht hierbei um die \(\tau\)-Funktion. Ich muss zeigen, für alle \(a \in \mathbb{N}\) existiert ein \(\theta_p \in \mathbb{R}\) mit
\[\tau(p^a) = p^{11a/2} \frac{\sin((a+1)\theta_p)}{\sin(\theta_p)}.\]
Bisher habe ich: Wir bezeichnen mit \(\alpha_p \) und \(\beta_p\) die komplexen Nullstellen der Gleichung \(T^2-\tau(p)T + p^{11} = 0 \). Dann ist $\tau(p) = \alpha_p + \beta_p$ und $\alpha_p\beta_p = p^{11}$.
Durch Lösen der Gleichung und wegen der Surjektivität der Exponentialfunktion existiert ein \(\theta_p \in \mathbb{C}\), sodass \(\alpha_p = p^{11/2} e^{i\theta_p}\) und \( \beta_p = p^{11/2}e^{-i\theta_p}\).(Das kann man schnell nachrechnen). Die Diskriminante der quadratischen Gleichung ist $\tau(p)^2-4p^{11}$ und ist wegen der Ramanujan Hypothese kleiner als 0. Das heißt die Nullstellen sind nicht reell. Und bis hier ist alles klar.

Daraus soll aber nun folgen, dass \(\theta_p \in \mathbb{R}\) ist. Ich sehe aber diese direkte Folgerung nicht. Wieso ist \( \theta_p \) nicht komplex? Wenn \(\theta_p \) komplex wäre, dann könnten die Nullstellen trotzdem noch reell sein, oder?

Ich hoffe jemand kann mir hier weiter helfen. Ich denke man braucht in diesem Fall nicht viel über die \( \tau \) Funktion wissen, außer dass sie nur ganzzahlige Werte annimmt.

Vielen Dank im Voraus und LG
tomandjerry



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1624
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-07


Huhu tomandjerry,

ich kenne die \(\tau\)-Funktion nicht und habe keine Ahnung. Also Vorsicht mit dieser Antwort. Ich habe einfach ein wenig gerechnet.

Aus \(\alpha_p = p^{11/2} e^{i\theta_p}\) folgt durch logarithmieren:

\(\displaystyle \operatorname{Log}(\alpha_p)=\frac{11}{2}\log(p)+i\theta_p+i2k\pi\)

Nun ist \(\alpha_p=x+iy\), also:

\(\displaystyle \log\sqrt{x^2+y^2}+i\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{11}{2}\log(p)+i\theta_p+i2k\pi\)

Lösen wir die quadratische Gleichung:

\(\displaystyle T^2-\tau T + p^{11} = 0\)

\(\displaystyle T_{1,2}=\frac{\tau}{2} \pm \sqrt{\frac{\tau^2}{4}-p^{11}}=\frac{\tau}{2} \pm \frac{i}{2}\sqrt{4p^{11}-\tau^2} \)

Also ist (ich nehme die "Plus-Lösung") \(x=\frac{\tau}{2}\) und \(y=\frac{1}{2}\sqrt{4p^{11}-\tau^2}\).

\(\displaystyle \log\sqrt{\left(\frac{\tau}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sqrt{4p^{11}-\tau^2}\right)^2}+i\arctan\left(\frac{\frac{1}{2}\sqrt{4p^{11}-\tau^2}}{\frac{\tau}{2}}\right)=\frac{11}{2}\log(p)+i\theta_p+i2k\pi\)

Nun ist:

\(\displaystyle \log\sqrt{\left(\frac{\tau}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sqrt{4p^{11}-\tau^2}\right)^2}=\frac{1}{2}\log\left(\frac{\tau^2}{4}+\frac{1}{4}\left(4p^{11}-\tau^2\right)\right)=\frac{1}{2}\log p^{11}=\frac{11}{2}\log(p)\)

Eingesetzt:

\(\displaystyle \frac{11}{2}\log(p)+i\arctan\left(\frac{\frac{1}{2}\sqrt{4p^{11}-\tau^2}}{\frac{\tau}{2}}\right)=\frac{11}{2}\log(p)+i\theta_p+i2k\pi\)

Nun können wir auf beiden Seiten \(\frac{11}{2}\log(p)\) subtrahieren und durch \(i\) dividieren:

\(\displaystyle \arctan\left(\frac{\sqrt{4p^{11}-\tau^2}}{\tau}\right)=\theta_p+2k\pi\)

Falls \(\tau\) negativ ist, muss man natürlich noch \(\pi\) links addieren.

Gruß,

Küstenkind



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]