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Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorpher Logarithmuszweig / holomorpher Zweig der dritten Wurzel
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Universität/Hochschule Holomorpher Logarithmuszweig / holomorpher Zweig der dritten Wurzel
math_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-06


Hallo zusammen,

ich sitze gerade über einer alten Staatsexamensaufgabe, die mir ein paar Schwierigkeiten bereitet.

Zunächst die Angabe:
Sei \(\mathbb{E}:\{z \in \mathbb{C} : |z| \leq 1\}\) und \(f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \to 4z + z^2 + e^z\).

a) Zeigen Sie, dass \(f\) in \(\{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}\) genau eine Nullstelle besitzt.

b) Zeigen Sie, dass es für \(f\mid_{\mathbb{E}}: \mathbb{E} \to \mathbb{C}\) keinen holomorphen Logarithmuszweig - also kein holomorphes \(l: \mathbb{E} \to \mathbb{C}\) mit \(e^{l(z)} = f(z)\) für alle \(z \in \mathbb{E}\) - gibt.

c) Zeigen Sie, dass es für \(f\mid_{\mathbb{E}}\) keinen holomorphen Zweig der dritten Wurzel - also kein holomorphes \(w: \mathbb{E} \to \mathbb{C}\) mit \((w(z))^3 = f(z)\) für alle \(z \in \mathbb{E}\) - gibt.

Konkret bereitet mir insbesondere Teilaufgabe c) Schwierigkeiten. Ich vermute, dass es nicht allzu schwierig ist, aber gerade die in den Teilaufgaben b) und c) vorkommenden Begriffe spielten bei uns in der Vorlesung eine fast untergeordnete Rolle, weshalb ich mir bei der entsprechenden Aufgabe unsicher bin. Gerne würde ich euch meine Gedanken zu a) und b) präsentieren und würde mich freuen, wenn mir jemand Tipps zu Teilaufgabe c) geben kann.

a) Sei \(B_0(1) = \{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\} \). Wir schreiben \(f(z) = 4z + z^2 + e^z = p(z) + g(z)\) mit \(p(z) = 4z\) und \(g(z) = z^2+e^z\). Für einen Punkt auf dem Rand der Einheitskreisscheibe, d.h. \(z \in \partial B_0(1)\), also \(|z| = 1\), gilt dann \(|p(z)| = 4\) und \(|g(z)| = 1+e\). Insbesondere ist also \(|p(z)| > |g(z)|\) für alle \(z \in \partial B_0(1)\), da \(e < 3\) ist. Nach dem Satz von Rouché haben somit \(p\) und \(p+g\) in \(B_0(1)\) gleich viele Nullstellen. Die einzige Nullstelle von \(p\) liegt bei \(z=0\), welche in \(B_0(1)\) liegt. Also hat auch \(f\) genau eine Nullstelle in \(B_0(1)\).

b) Da wir in a) gezeigt haben, dass \(f\) eine Nullstelle in \(B_0(1)\) - und damit insbesondere in \(\mathbb{E}\) - hat, kann \(f\) keinen solchen holomorphen Logarithmuszweig haben, da die linke Seite aufgrund der Exponentialfunktion stets von null verschieden ist.

c) Jetzt hört es leider bei mir auf. Die einzige Idee, die mir in den Sinn gekommen wäre, ist \(w = e^{\frac{1}{3}\ln(f(z))}\) zu betrachten. Aber selbst wenn dieser Ansatz wertvoll ist, sehe ich nicht, wie ich weiter machen soll/kann.



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-06


Hi,

betrachte die Vielfachheit der Nullstelle in $\mathbb E$.



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math_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-06


Hi Bai,

es muss sich nach Teil a) um eine einfache Nullstelle handeln. Wie soll mir das weiterhelfen?



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-07


2020-04-06 21:34 - math_ in Beitrag No. 2 schreibt:
es muss sich nach Teil a) um eine einfache Nullstelle handeln. Wie soll mir das weiterhelfen?

Genau. Und jetzt entwickle doch mal $w$ und $f$ jeweils in eine Potenzreihe um diese Nullstelle herum und setze sie in $f=w^3$ ein.



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