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Physik » Optik » Herleitung der Dopplerverbreiterung von Spektrallinien
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Universität/Hochschule Herleitung der Dopplerverbreiterung von Spektrallinien
huberx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-07


In der Herleitung zur Dopplerverbreiterung von Spektrallinien kann ich einen vermeintlich einfachen Schritt leider nicht nachvollziehen.

Die Herleitungen in den verschiedenen Lehrbüchern sind im Grunde alle gleich, siehe z.B. Foot, Atomic Physics (Kap. 8.1) oder Demtröder, Laser Spectroskopie 1 (Kap. 3.2).

Betrachtet wird dort die Absorption von Atomen mit Resonanzfrequenz \(\omega_0\) (in ihrem Ruhensystem), die sich mit einer Geschwindigkeit \(\vec{v}\) im Laborsystem bewegen.

Die Frequenz \(\omega\) eines Lasers im Laborsystem wird aus Sicht des bewegten Bezugssystem entsprechend \(\omega'=\omega-\vec{k}\cdot\vec{v}\) mit \(|\vec{k}|=\omega/c\). Einfachheitshalber wird angenommen, dass $-\vec{v}\parallel \vec{k}$, sodass \(\omega'=\omega+kv\). Die Atome absorbieren das Licht also, wenn
\[
\omega_0=\omega'=\omega+kv \qquad \mathrm{(1)}.
\]
Für ein Gas ist die Geschwindigkeitsverteilung gegeben durch eine Maxwellverteilung

\[
p(v)\mathrm{d}v\propto\exp{\left(-\frac{v^2}{u^2}\right)}\mathrm{d}v  \qquad \mathrm{mit} \qquad u=\sqrt{\frac{2k_B T}{m}} \qquad \mathrm{(2)}.
\]
Die dopplerverbreiterte Absorptionslinie ist dann proportional zur Maxwellverteilung in Abhängigkeit der Laserfrequenz \(\omega\), d.h. man löst Gleichung (1) nach \(v\) auf und setzt in Gleichung (2) ein:

\[
v=c\frac{\omega-\omega_0}{\omega}.
\]
In allen Herleitungen wird jedoch ohne weiteren Kommentar
\[
v=c\frac{\omega-\omega_0}{\omega_0}
\] benutzt (siehe z.B. hier). Habe ich irgendetwas Offensichtliches übersehen?



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Berufspenner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-07


Moin

wenn ich es richtig sehe, dann wird in Gleichung (3.21)

<math>\omega = \omega_0 + K_z\cdot v_z = \omega_0\cdot (1 + \frac{v_z}{c})</math>

implizit angenommen, dass <math>\left|K\right| = \frac{\omega_0}{c}</math> ist. Andererseits ist der Ausdruck

<math>\omega = \omega_0\cdot (1 + \frac{v_z}{c})</math>

absolut logisch, da für <math>v_z = 0</math> die Absorptionsfrequenz wieder ihrem Ruhewert entspricht.


-----------------
Grenzen sind zum Überwinden da



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huberx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-07


2020-04-07 15:34 - Berufspenner in Beitrag No. 1 schreibt:
...dann wird in Gleichung (3.21)

<math>\omega = \omega_0 + K_z\cdot v_z = \omega_0\cdot (1 + \frac{v_z}{c})</math>

implizit angenommen, dass <math>\left|K\right| = \frac{\omega_0}{c}</math> ist.
Die Frage für mich wäre dann allerdings, mit welcher Begründung (außer einem plausiblen Ergebnis 🙂)? Alle Lehrbücher, die ich gefunden habe, setzen scheinbar einfach \(|\vec{k}|=\omega_0/c\), obwohl es vorher explizit als \(|\vec{k}|=\omega/c\) definiert wurde. 😵


2020-04-07 15:34 - Berufspenner in Beitrag No. 1 schreibt:
Andererseits ist der Ausdruck

<math>\omega = \omega_0\cdot (1 + \frac{v_z}{c})</math>

absolut logisch...
Genau, das würde dann der Interpretation entsprechen, dass im Laborsystem die Eigenfrequenz des Atoms um \(\omega_0\frac{v_z}{c}\) verschoben erscheint. Im Grunde kann man die beiden Gleichungen auch (bis auf ein Vorzeichen) ineinander umwandeln: Durch umstellen und dann entwickeln für \(v\ll c\). Allerdings sehe ich auch nicht, warum die Gleichungen nur für \(v\ll c\) equivalent sind... Für mich wären das zwei gültige Beschreibungen, die allerdings ein anderes Ergebnis haben(?).



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-09


Hallo huberx,


ich habe mir die Herleitungen im Buch jetzt nicht angeschaut, eine Möglichkeit wäre aber, dass bei moderaten Geschwindigkeiten der Atome einfach von \(\omega \approx \omega_0\) ausgeht, und in der Formel \(\frac{\omega-\omega_0}{\omega}\) diese Näherung verwendet, weil der Unterschied ja nur von der Ordnung \((\omega-\omega_0^2)^2\) ist.

lg Wladimir



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huberx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-10


Hallo Wladimir,
das könnte natürlich sein, allerdings sehe ich da außer einer anwenderfreundlichen Gleichung keinen wirklichen Vorteil 🤔

In 'Quantum Theory of Light' von Loudon habe ich zumindest mal das bzw. die nicht-relativistische Näherung gefunden:

'Thus \(\omega\) differs only slightly from \(\omega_0\) and final term on eqn. (2.6.5) can be neglected [the recoil shift], so that
\[
\begin{equation}
\omega=\frac{\omega_0}{1-v_z/c}\approx\omega_0(1+v_z/c).'
\end{equation}
\] Scheinbar ist es wirklich einfach eine Näherung, die nur einvernehmlich meistens verschwiegen wird.



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