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Strukturen und Algebra » Polynome » X^6+X^3+1 irreduzibel
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Universität/Hochschule X^6+X^3+1 irreduzibel
Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-07


Hallo!
Wie kann ich zeigen, dass X^6+X^3+1 irreduzibel über Q ist?

Ich stehe hier gerade wirklich auf der Leitung... hätte erst an Eisensteinkriterium gedacht...
Bzw wollte ich auch noch den Beweis von X^(p-1)+X^(p-2)+...+1 modifizieren, bin aber gescheitert.

Lg Drgglbchr



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-07


2020-04-07 15:18 - Drgglbchr im Themenstart schreibt:

Wie kann ich zeigen, dass X^6+X^3+1 irreduzibel über Q ist?

Schon mal was von Kreisteilungspolynomen wie hier $\Phi_9(X)$ gehört? Diese sind nämlich prinzipiell irreduzibel über $\mathbb Q$.


Ich stehe hier gerade wirklich auf der Leitung... hätte erst an Eisensteinkriterium gedacht...
Bzw wollte ich auch noch den Beweis von X^(p-1)+X^(p-2)+...+1 modifizieren, bin aber gescheitert.

Hm, versteh ich nicht. Du brauchst ja nur, wie in diesem Beweis $X$ durch $X+1$ zu ersetzen, der Rest ist gleich. Ich habe daher ein bisschen den Verdacht, dass du es gar nicht erst probiert hast. 🙄



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-07


von kreisteilungspolynomen habe ich noch nichts gehört.

in diesem beweis wurde X^(p-1)+X^(p-2)+...+1 dargestellt als (X^p - 1)/(X-1)
das geht doch in meinem fall nicht, weil nicht alle Hochzahlen von 6 bis 1 in absteigender Reihenfolge angeführt sind, oder?🤔



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-07


2020-04-07 15:56 - Drgglbchr in Beitrag No. 2 schreibt:
in diesem beweis wurde X^(p-1)+X^(p-2)+...+1 dargestellt als (X^p - 1)/(X-1)
das geht doch in meinem fall nicht, weil nicht alle Hochzahlen von 6 bis 1 in absteigender Reihenfolge angeführt sind, oder?🤔

Warum soll das nicht gehen? 🤔
\[X^6+X^3+1=\frac{X^9-1}{X^3-1}\] Jetzt mal davon abgesehen, dass man X auch so durch X+1 ersetzen kann, ohne diese Darstellung zu benützen. Dies ist auch insofern der bessere Weg, als man sonst - wenigstens gedanklich - am Ende noch eine Polynomdivision durch $X^3+3X^2+3X$ durchführen muss.



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-07


am ende komme ich bei dieser Darstellung auf
fed-Code einblenden
und wenn ich hier X+1 für X einsetze, habe ich (X+1)^3 stehen.. das hat mich bei dieser form irritiert... und deshalb habe ich angenommen auf dem Holzweg zu sein...
und mit (X-1) kann ich diese Vereinfachung nicht durchführen.



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-07


ich habe jetzt einfach alles aasmultipliziert, zusammengefasst und mit dem eisensteinkriterium irreduzibilität gezeigt :)




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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-04-07


2020-04-07 17:46 - Drgglbchr in Beitrag No. 5 schreibt:
ich habe jetzt einfach alles aasmultipliziert, zusammengefasst und mit dem eisensteinkriterium irreduzibilität gezeigt :)

Ja, aber warum nicht gleich so?! Aber, ok, all's well that ends well… 😐



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