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 Borelsche Spur-Sigma-Algebra |
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Tamref
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 |  Themenstart: 2020-04-15
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Ich möchte folgendes zeigen:
\(B(E) \cap E_{0} = B(E_{0})\)
Wobei \(E\) ein topologischer Raum ist, \(B(E)\) die Borelsche \(\sigma\)-Algebra von \(E\) ist, \(E_{0} \in P(E)\) aus der Potenzmenge von \(E\) stammt und \(O\) die Menge der offenen Mengen in \(E\) ist, (also die \(E\) zugrunde liegende Topologie).
Mein Ansatz ist zwei Inklusiononen zu zeigen.
\[B(E) \cap E_{0} = \sigma(O) \cap E_{0} = \{ J \cap E_{0} | J \in \sigma(O)\}\]
Sei \(X \in B(E) \cap E_{0}\), dann lässt sich jedes \(X\) darstellen als \(J \cap E_{0}\).
Also müssen wir sicherstellen, dass \(J \cap E_{0} \in B(E_{0})\) für alle \(J \in \sigma(O)\)
\[B(E_{0}) = \sigma(O \cap E_{0}) = \sigma(\{ K \cap E_{0} | K \in O \})\]
Mein Ziel war hier eine Darstellung mit den \(K \cap E_{0}\) zu finden, so dass sie mit der von \(X\) übereinstimmt. Leider ist mir dann aufgefallen, dass danach ja erst die \(\sigma\)-Algebra gebildet wird... und stelle jetzt meinen Ansatz in Frage. Möchte jemand vielleicht seine Gedanken dazu Teilen und mir ggf. einen Tipp geben?
Die andere Richtung habe ich mir noch nicht angesehen, da ich mir nun nichtmehr sicher bin, ob ich so zum Ziel gelange und nicht doch ein reines Umformen der Gleichung möglich ist.
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AnnaKath
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-15
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Huhu Tamref,
Weisst Du wie die Teilraumtopologie definiert ist? Und was eine Spur-$\sigma$-Algebra ist?
Damit hättest Du dann bereits die eine Inklusion. Und wenn Du Dir das sauber notiert hast, sollte auch die andere Richtung klarer sein.
lg, AK
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Tamref
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-16
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Spur \(\sigma \)-Algebra ist theoretisch klar, habe den Begriff aber noch nicht durchdrungen und kann nicht flüssig mit ihm umgehen.
In diesem Fall ist \(B(E) \cap E_{0}\) die Spur \(\sigma\)-Algebra über \(E_{0}\)
Wir hatten den Begriff der Spur-Topologie. D.h. wenn \(O\) eine Topologie auf \(E\) ist, so ist \(O \cap E_{0} := \{ K \cap E_{0} | K \in O \}\) eine Topologie auf \(E_{0}\).
Die Borelsche \(\sigma\)-Algebra wird aber ja von den offenen Mengen des Raums erzeugt, also der ihr zugrunde liegenden Topologie. Dies rechtfertigt also \(B(E_{0}) = \sigma(\{ K \cap E_{0} | K \in O \})\)
Ich sehe jetzt aber noch nicht wie ich Schlussfolgern kann, dass \( \underbrace{B(E) \cap E_{0}}_{\sigma\text{-Algebra auf }E_{0}} \subset \underbrace{B(E_{0})}_{\text{Borelsche } \sigma \text{-Algebra auf } E_{0}} \) gilt.
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AnnaKath
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-16
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Huhu Tamref,
$B(E)$ wird von den offenen Mengen in $E$ erzeugt; insbesondere ist also jede in $E$ offene Menge $M$ messbar. Nach Definition der Spur-$\sigma$-Algebra, ist jedes $M\cap E_0$ in der Spur-Algebra enthalten; dies sind aber gerade die offenen Mengen in $E_0$. Somit enthält die Spuralgebra alle offenen Mengen über $E_0$ und ist eine Obermenge der Borel'schen $\sigma$-Algebra über $E_0$. Das war die offensichtliche Richtung.
Nun also zu Deiner Frage ein ausführlicherer Hinweis:
* Betrachte $S=\{ M\subset E : M\cap E_0 \in B(E_0) \}$.
* Offensichtlich ist $B(E) \subset \sigma(S)$
* Zeige nun, dass $E$ eine $\sigma$-Algebra ist, also herrscht sogar Gleichheit.
EDIT: Zeige nun, dass $S$ eine $\sigma$-Algebra ist, also gilt sogar $B(E)\subset S$.
* Betrachtet nun ein Element der Spur-Algebra und nutze dieses Ergebnis.
lg, AK.
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Tamref
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-05
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Hey, entschuldige bitte die späte Antwort.
\quoteon(2020-04-16 17:16 - AnnaKath in Beitrag No. 3)
Somit enthält die Spuralgebra alle offenen Mengen über $E_0$ und ist somit eine Obermenge der Borel'schen $\sigma$-Algebra über $E_0$.
\quoteoff
Warum das eine Obermenge? Die Borel'sche-$\sigma$-Algebra enthält diese Mengen ja auch. Ich sehe nicht wie man direkt erkennt, dass es eine Obermenge ist.
Zum zweiten Teil:
\quoteon(2020-04-16 17:16 - AnnaKath in Beitrag No. 3)
* Zeige nun, dass $E$ eine $\sigma$-Algebra ist, also herrscht sogar Gleichheit.
\quoteoff
Wie kann $E$ eine $\sigma$-Algebra sein? Ist $E$ nicht meine Universalmenge? Dann wäre $E$ gezwungenermaßen Teil jeder $\sigma$-Algebra, aber nicht selbst eine, ich bin verwirrt. Dass Gleichheit herrscht ist mir intuitiv irgendwie klar, aber ich kann es nicht formalisieren.
LG, Tamref.
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AnnaKath
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-05
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Huhu tamref,
zum ersten Punkt weiss ich nicht recht, was ich noch sagen soll...
Die Borel'sche $\sigma$-Algebra ist nach Definition die von den offenen Mengen (eines topologischen Raumes) erzeugte $\sigma$-Algebra, also die "kleinste" $\sigma$-Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Wenn die Spur-$\sigma$-Algebra also die offenen Mengen enthält muss sie nach der Definition einer erzeugten $\sigma$-Algebra eine Obermenge der Borel'schen $\sigma$-Algebra sein...
Zum zweiten Punkt: Es soll natürlich $S$ heissen, das war nur ein Tippfehler.
lg, AK
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