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  Sigma-Algebra |
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Das_Fragezeichen
Junior 
Dabei seit: 23.04.2020
Mitteilungen: 7
 |  Themenstart: 2020-04-23
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Guten Tag,
wir sollen zeigen, dass die von En := {{1},...,{n}} erzeugte Sigma Algebra über N grade
Sn = {A⊆N : A⊆{1,...,n} oder ∀m ≥ n+1 gilt m∈A}
diese Menge ist.
Ebenfalls ist zu zeigen, dass Sn ⊆ Sn+1 ist.
Und zuletzt sollen wir beweisen, dass die Vereinigung von n = 1 bis Unendlich von Sn
keine Sigma Algebra ist.
Die ersten beiden Punkte habe ich schon, beim letzten komme ich nicht weiter.
Danke für eure Hilfe
🙂
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tobit09
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 79
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-25
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Hallo Das_Fragezeichen!
(Für meine Antwort sei mit $\mathbb{N}$ die Menge der natürlichen Zahlen OHNE die 0 gemeint.)
Sei $S:=\bigcup_{n=1}^\infty S_n$.
Es gilt $\emptyset\in S$ und $S$ ist unter Komplementbildung abgeschlossen.
Wenn wir also zeigen wollen, dass $S$ keine Sigma-Algebra ist, müssen wir zeigen, dass $S$ nicht unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist.
Wir brauchen also eine Folge $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ von Mengen $A_n\in S$ mit $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\notin S$.
Findest du eine Menge $A\subseteq\mathbb{N}$ mit $A\notin S$?
Wenn du ein solches $A$ gefunden hast, genügt es, $A$ als abzählbare Vereinigung von Mengen $A_n\in S$ darzustellen.
Zum Finden von $A\subseteq\mathbb{N}$ mit $A\notin S$:
$A\notin S$ bedeutet, dass für jedes $n\in\mathbb{N}$ gilt: $A\notin S_n$.
Das wiederum heißt: $A$ darf keine Teilmenge von $\{1,\ldots,n\}$ für ein $n\in\mathbb{N}$ sein und $A$ darf nicht ab irgendeinem $n$ alle $m\in\mathbb{N}$ mit $m\ge n+1$ enthalten.
Bildlich gesprochen: Weder dürfen die Elemente von $A$ "weit draußen" aufhören, noch dürfen die "Nicht-Elemente" von $A$ "weit draußen" aufhören. Es muss also beliebig "weit draußen" in den natürlichen Zahlen immer Elemente und "Nicht-Elemente" von $A$ geben.
Fällt dir eine solche Menge $A$ ein?
Wie wäre es z.B., wenn sich Elemente und "Nicht-Elemente" von $A$ abwechseln?
Ups, jetzt ist meine Antwort aber lang geworden.
Sind meine Überlegungen für dich nachvollziehbar?
Findest du eine passende Menge $A$?
Kannst du alles zu einem Beweis zusammenfügen?
Viele Grüße
Tobias
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Das_Fragezeichen
Junior
Dabei seit: 23.04.2020
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-27
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Hallo Tobias,
danke für die Antwort.
Lass mich es ein bisschen zusammen fassen:
Ich konstruiere also induktiv eine Menge aus den Sn.
Diese Menge muss damit in der Sigma Algebra der Vereinigungen von 1 bis unendlich enthalten sein.
Wenn es aber in keinem Sn enthalten ist, kann es keine Teilmenge der Vereinigungen sein.
Also konstruiere ich induktiv die Menge der z.B. graden Zahlen durch Schnitte von Elementen aus einer aufsteigenden Folge von Sn.
Und da das dem zweiten Teil der Mengendefinition widerspricht bin ich fertig und die Menge der Graden Zahlen kann nicht enthalten sein.
Hab ich das alles richtig verstanden?
Viele Grüße
Das_Fragezeichen
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tobit09
Wenig Aktiv
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 79
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-27
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Hallo Das_Fragezeichen!
Leider kann ich deinen Ausführungen schwer folgen.
Du scheinst erkannt zu haben, dass die Menge $A$ der geraden natürlichen Zahlen der Bedingung $A\notin S$ genügt.
Wenn jetzt $A=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$ für gewisse Mengen $A_n\in S$ gilt, ist also $S$ nicht unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen und damit keine Sigma-Algebra.
Findest du konkrete Mengen $A_n\in S$, so dass $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$ genau die Menge $A$ der geraden natürlichen Zahlen ist?
Viele Grüße
Tobias
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Das_Fragezeichen
Junior
Dabei seit: 23.04.2020
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-27
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Hallo Tobias
Ich hatte jetzt eine Folge von Mengen Bk wie folgt definiert Bk = { 2,...,2n}. wobei n=k
Wobei 2n ja ein Element aus S2n ist.
Für k gegen unendlich ergibt das die Graden Zahlen.
Die Können aber in keinem Sn per Definition enthalten sein also sind die kein Element der Vereinigung von 1 bis unendlich über Sn
Viele Grüße
Das Fragezeichen
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tobit09
Wenig Aktiv
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 79
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-28
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Hallo Das Fragezeichen!
Die Idee ist richtig:
Wähle (in meiner Notation) $A_n:=\{2i\;|\;i\in\mathbb{N},\;i\le n\}$.
Dann gilt $A_n\in S_{2n}$ und damit wie gewünscht $A_n\in S$.
Außerdem gilt wie gewünscht $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n=A$.
Viele Grüße
Tobias
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Das_Fragezeichen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das_Fragezeichen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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