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Analysis » Funktionalanalysis » Zulässige Funktionen der Fouriertransformation
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Universität/Hochschule Zulässige Funktionen der Fouriertransformation
maxxam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-26


Guten Morgen zusammen,

ich hätte eine Frage zu der Fouriertransformation. In unserem Skript heißt es, dass eine Funktion f absolut integrierbar sein muss, damit die Fouriertransformierte gebildet werden kann.
Wird diese Forderung "nur" gestellt, weil man nicht möchte, dass
F[f] unendlich groß ist?

\(|F[f](w) \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| dt  = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} ||f|| \)


Oder gibt es noch einen anderen Grund?

LG
maxxam





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loop73
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-03


* Man kann die Fouriertransformation für viel größere Funktionen-Klassen definieren, wie bspw. den Dualraum \(S'\) vom Schwatzraum \(S\). Allerdings kann man die nicht unbedingt mit einer "normalen" Funktion identifizieren.

* Vllt. könnte man mit einer Funktion \(f\), die riemann-integrierbar ist - aber nicht im Betrag, die Fouriertransformation \(F[f]\) durchführen, sodass \( F[f] < \infty \)? zB. \(\frac{sin(x)}{x}\)?



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Wally
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Wenn eine Funktion absolut integrierbar ist, ist die Fouriertransformierte schon mal für jeden Wert definiert (und sogar stetig).

Wenn die Funktion z.B. quadratintegrierbar ist, gibt es die  Fouriertransformierte auch, aber eben nur als \( L_2\)-Funktion.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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