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Strukturen und Algebra » Moduln » Surjektion in eine direkte Summe von R-Moduln
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Universität/Hochschule Surjektion in eine direkte Summe von R-Moduln
yann
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-28


Hallo!

Sei $k$ ein Körper und $R$ eine endlich dimensionale assoziative $k$-Algebra und $X,Y$ seien endlich dimensionale $R$-Moduln.
Zeige: Für jede $R$-lineare Abbildung
$$\pi:X\oplus Y\to Y$$ mit den Eigenschaften

a) $\pi$ ist surjektiv
b) $ker(\pi)\cong X$

gibt es eine $R$-lineare Abbildung $\varphi:Y\to X\oplus Y$ mit $\pi\circ\varphi =id_Y$.

Meine Vermutung ist, dass es neben der offensichtlichen Abbildung $\pi:(x,y)\mapsto y$ gar keine andere geben kann. Damit wäre $\varphi:y\mapsto(0,y)$ gegeben. Mir fällt es allerdings schwer, es zu beweisen. Hat da jemand eine Idee?

Gruß,
yann



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-28


Vielleicht gibt es keine, die man für beliebige $X$, $Y$ generisch angeben kann, aber im Einzelfall sieht das anders aus. Setze z.B. $X=Y=\IR$, dann fallen dir sicher sehr viele Projektionen auf $\IR$ ein.


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yann
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-28


Stimmt, so einfach habe ich gar nicht gedacht. Wenn $R=k$ selbst ein Körper ist, so spaltet jede beliebige exakte Folge. Projektionen $k^2\longrightarrow k$ gibt es so viele, wie es nicht triviale $2\times 1$ Matrizen über $k$ gibt.
Ist beispielsweise $\pi:=A=(\alpha \;\beta)$ so eine Matrix (d.h. $\alpha\neq 0$ oder $\beta\neq 0$), so sucht man dann eine "Matrix" $\varphi:=v=(\begin{smallmatrix} x\\ y\end{smallmatrix}) :k\to k^2$, d.h einen Vektor mit $A\cdot v=1$. Da die lineare Abbildung gegeben durch $A$ surjektiv ist, gibt es so eine Lösung und ist $v$ so eine, dann ist $v+\ker(A)$ die Menge aller solcher Lösungen.

Meine Vermutung ist also falsch. D.h. der beweis der obigen Aussage hat damit einen allgemeineren Grund sozusagen.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-09


Wir haben also eine exakte Sequenz

$0 \to X \to X \oplus Y \to Y \to 0$

von endlich-dimensionalen $R$-Moduln, wobei die beiden Abbildungen $X \to X \oplus Y$ und $X \oplus Y \to Y$ nicht unbedingt die kanonischen sind, und wollen zeigen, dass sie "trotzdem" spaltet.

Betrachte dazu die induzierte exakte Sequenz

$0 \to \mathrm{Hom}(Y,X) \to \mathrm{Hom}(Y,X \oplus Y) \to \mathrm{Hom}(Y,Y).$

Es sei $Z \subseteq \mathrm{Hom}(Y,Y)$ das Bild der rechten Abbildung. Wir haben also eine exakte Sequenz

$0 \to \mathrm{Hom}(Y,X) \to \mathrm{Hom}(Y,X) \oplus \mathrm{Hom}(Y,Y) \to Z \to 0.$
 
Weil wir es mit endlich-dimensionalen $R$-Moduln zu tun haben, können wir ihre Länge verwenden (alternativ ginge es hier auch mit der Dimension) und berechnen:
 
$\ell(Z) = \ell\bigl(\mathrm{Hom}(Y,X) \oplus \mathrm{Hom}(Y,Y)\bigr) - \ell(\mathrm{Hom}(Y,X)) = \ell(\mathrm{Hom}(Y,Y)).$

Zusammen mit $Z \subseteq \mathrm{Hom}(Y,Y)$ folgt hieraus $Z = \mathrm{Hom}(Y,Y)$. Also ist $\mathrm{Hom}(Y,X \oplus Y) \to \mathrm{Hom}(Y,Y)$ surjektiv. Insbesondere hat $\mathrm{id}_Y$ ein Urbild, was gerade zeigt, dass die ursprüngliche Sequenz spaltet.

In der Arbeit Note on direct summands of modules von Takehiko Miyata wird ein allgemeineres Resultat bewiesen (es wird mehr oder weniger mit Standardmethoden der kommutativen Algebra auf den obigen Fall zurückgeführt):
 
Sei $R$ ein kommutativer noetherscher Ring und $A$ eine $R$-Algebra, die als $R$-Modul endlich-erzeugt ist. Dann ist jede kurze exakte Sequenz der Form $0 \to X \to X \oplus Y \to Y \to 0$ (wieder müssen die beiden mittleren Abbildungen nicht die kanonischen sein) zwischen endlich-erzeugten $A$-Moduln gespalten.

Für $A=R$ ergibt sich hierbei auch eine für die kommutative Algebra nützliche Aussage.



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