Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphe Funktion
Autor
Universität/Hochschule Holomorphe Funktion
Mathemus
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 30.04.2020
Mitteilungen: 4
  Themenstart: 2020-04-30

Hallo Leute. Ich habe folgende Aufgabenstellung \ f(z) ist holomorph und es gibt positive konstanten M,R und eine natürliche Zahl m, sodass abs(f(z))<=M abs(z)^m \forall\ z mit abs(z)>R Zeigen sie , dass f ein Polynom vom Grad <=m ist. Mein Ansatz wäre hier den Potenzreihenentwicklunssatz anzuwenden. Also f(z)=sum(a_k*z^k,k=0,\inf) um damit irgendwie zu zeigen, dass ab dem m-ten Summanden der Reihe die Koefizienten 0 werden. Ab hier bin ich aber schon völlig ratlos. Ich würde mich wirklich über einen Denkanstoss freuen. Liebe Grüsse


   Profil
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1255
  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\) Hallo Mathemus, angenommen, die Funktion sei kein Polynom von Grad $\leq m$. Dann ist die $m+1$-te Ableitung nicht identisch 0. Überlege, ob das unter der Voraussetzung $\vert f(z)\vert\leq M\vert z\vert^m$ mit der verallgemeinerten Cauchyschen Integralformel vereinbar ist. Viele Grüße Vercassivelaunos\(\endgroup\)


   Profil
Mathemus
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 30.04.2020
Mitteilungen: 4
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-01

Vielen Dank für die Antwort Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen: Angenommen die m+1.te Ableitung wäre ungleich null, dann ist \ a_(m+1)=(f^((m+1))(z)/(m+1)!)!=0 Und somit auch (a_(m+1))z^(m+1)!=0 Ich habe daraufhin f(z) folgendermassen dargestellt f(z)=sum(a_k*z^k,k=o,m)+sum(a_k*z^k,k=m+1,\inf ) Die erste Summe für sich würde der Vorraussetzung entsprechen. Meine Vermutung wäre aber, dass die 2. Summe nicht die Vorraussetzung erfüllt und das ganze somit zu einem Widerspruch führt. Bin ich hier auf dem richtigen Weg? Liebe Grüsse


   Profil
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1255
  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\) Das geht zwar in eine ganz andere Richtung, als ich gemeint habe, aber kann man auch machen. Dabei aber Vorsicht: Die $m+1$-te Ableitung darf schon den Wert 0 annehmen. Sie darf nur nicht identisch 0 sein, das heißt, es muss eine Stelle $z_0$ geben, an der $f^{(m+1)}(z_0)\neq0$. Wenn du also unbedingt über die Potenzreihendarstellung gehen willst, dann solltest du die Entwicklung um ein solches $z_0$ betrachten, denn in $0$ könnte die Ableitung durchaus 0 sein. Oder du argumentierst, dass in dem Fall $f^{(m+1)}(0)=0$ aber ein Term von noch höherer Ordnung ungleich 0 ist. Dann kannst du aber tatsächlich so wie du meinst an diese zweite Summe herangehen. Ich empfehle, $z^{m+1}$ auszuklammern und dann zu zeigen, dass $\sum_{k=m+1}^\infty a_kz^{k-m-1}$ nicht beschränkt sein kann. \(\endgroup\)


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9357
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Mathemus, du kannst auch so vorgehen, wie du angefangen hast, und \(a_{m+k}\) durch das Integral auf einem großen Kreis mit Hilfe der Cauchyformel berechnen. Dann lässt du den Radius nach unendlich gehen.... Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


   Profil
Mathemus
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 30.04.2020
Mitteilungen: 4
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-02

Hallo. Vielen lieben Dank für die Ansätze :) Ich hab jetzt folgendermassen weitergemacht: \ Dadurch, dass unter der Annahme, dass die m+1.te Ableitung nicht identisch 0 ist,muss ein n\el\ intervall(m+1,\inf ) existieren , für das gilt a_n*z^n!=0 für bestimmte z. Wie du gesagt hast, habe ich nun z^(m+1) aus der zweiten Reihe ausgeklammert. Unter der Voraussetzung würde gelten: abs(sum((a_k*z^k),k=0,m )+z^(m+1)*sum(a_(m+1)*z^(k-m-1),k=m+1,\inf ))<=M*abs(z)^m Aber abs(sum((a_k*z^k),k=0,m )+z^(m+1)*sum(a_(m+1)*z^(k-m-1),k=m+1,\inf ))<=abs(sum((a_k*z^k),k=0,m ))+abs(z^(m+1)*sum(a_(m+1)*z^(k-m-1),k=m+1,\inf )) Betrachtung der zweiten Reihe und Umformung liefert: abs(z)*abs(sum(a_k*z^(k-m-1),k=m+1,\inf ))<=M Ich würde vermuten, dass der linke Term nicht beschränkt ist und somit ein Widerspruch entstehen würde. Weiss aber nicht genau, wie ich das zeigen würde( Ich hoffe die Frage ist nicht zu trivial). Ich würde mich an dem zweiten hier geposteten Ansatz auch versuchen, sobald ich entsprechende Passagen in meinem Skript gepaukt habe. Ich würde mich über weitere Ideen und feedback freuen. Liebe Grüsse


   Profil
Mathemus hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]