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  Beweis für Kongruenzsatz |
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ziad38
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 31.08.2018
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 |  Themenstart: 2020-05-03
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Hallo ,
ES Geht um den Kongruenzsatz und die Lösung von Aufgabe no3 , aber NUR der erste Fall, nämlich eine Lösung( Bild 2).
im Bild 1 sagt er wenn der Winkle liegt der längeren Seite gegenüber, dann sind die kongruent.
Meine Frage : wenn ich mir die Antwort der Aufgabe 3 anschaue (Bild 2)
und auch Bild 3 und Bild 4 , dann sehe ich so: wenn der Winkel(hier in dieser Aufgabe α) liegt NICHT NUR der längeren Seite ( α > c ; α > 5,7cm ) sondern auch wenn α ≥ c , also α ≥ 5,7. und NICHT NUR das , aber auch wenn der Winkel(α) gleich dem Abstand(4,3cm) von B zum anderen Schenkel.Dann ergebt hier NUR eine Lösung, das bedeutet die Dreiecke hier sind kongruent, das bedeutet diese Aussage in Kongruenzsatz SsW(der Winkel liegt gegenüber der längeren Seite ) diese stimmt NICHT ganz,denn auch wenn der Winkle liegt gegen die Seite a=5,7 und a=4,3 heir auch ergibt auch Kongruenzsatz. Also warum sagt er wenn der Winkel liegt der LÄNGEREN Seite (α ) also α > c. Es geht aber auch wenn α = c oder sogar α
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-03
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Hallo Ziad,
ich habe diesmal lange gebraucht und bin mir nicht ganz sicher, ob ich dich richtig verstanden habe. Falls doch, dann ist die Antwort einfach.
Du möchtest wissen, was in den Sonderfällen passiert, wenn die dem Winkel gegenüberliegende Seite
a) genau so lang wie die anliegende
b) gerade noch so lang, dass es überhaupt ein Dreieck gibt
ist.
Und: du hast recht. In diesen beiden Sonderfällen gibt es jeweils nur eine Lösung. Und diese Lösungen sind interessant. Denn im Fall a) wird man ein gleichschenkliges Dreick mit der Basis c und a=b bekommen. Im Fall b) jedoch ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel im Punkt C (c ist dann die Hypotenuse).
Also, wie du richtig vermutest: auch in diesen beiden Fällen gibt es nur ein mögliches Dreieck. Für zwei unterschiedliche Dreiecke muss somit die Länge der gegenüberliegenden Seite zwischen diesen beiden Werten liegen.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Geometrie' von Diophant]
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ziad38
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-03
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hallo Diophant
die Lösung ( Bild 2) für no 3 (hab rot markiert) steht da : 3) ein Lösung: a ist gleich dem Anstand.......bis a≥ 5,7.
Stimmt diese Lösung im Buch oder?
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-03
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Hallo Ziad,
nein, das hast du falsch verstanden. Da steht, dass es eine Lösung gibt wenn
- entweder die Länge a gleich dem Abstand von B zum anderen Schenkel ist
- oder die Länge a gleich der Länge c oder größer ist.
Also das stimmt im Buch schon, du hast es vermutlich (noch) nicht richtig verstanden. Lies es nochmal gründlich durch und achte auf das Wörtchen 'oder'.
Es steht nämlich im Prinzip genau das da, was du selbst oben auch schon geschrieben hast.
Gruß, Diophant
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ziad38
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-03
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ok also das Buch stimmt, das ist gut , wollte nur bestätigen. ich habe auch die Lösung verstanden.
Jetzt kommt die Frage
Hier haben wir 2 Seiten(c und a) und ein Winkel α
Mir geht es um den Kongruenzsatz: dieser Satz sagt
wenn zwei Dreiecke in der Länge ihre Seiten (c und a in diesem BSP) und der Winkel ,der der längeren dieser beiden Seiten( c und a) gegenüberliegt dann sind sie Kongruent
also wenn a=7 c= 5 , und α liegt gegenüber der längeren Seite a,dann sind beide Dreiecke ABC1 und ABC5 . das ist klar ( Bild 3). Hier gibt es Nur eine Lösung
ABER
auch wenn α( Alpha) liegt NICHT der längeren Seite gegenüber (a=5,7 gleich lang wie c=5,7) sind die Dreiecke AUCH kongruent,das meine ich.
Bsp a=5,7 c=5,7 (Bild 4) heir α liegt NICHT gegenüber der längeren Seite a=5 weil a ist NICHT länger als c= 5,7 sondern gleich lang a=c=5,7 . ABER trotzdem
gib es auch NUR eine Lösung ( wie bei der Fall a=7)
ABC2 =ABC1 , also sie sind kongruent.
Also der Kongruenzsatz stimmt nicht ganz. ich meine es kann sein ,dass es zwei Seiten gibt und ein Winkel. der NICHT der längeren Seite
(a=c=5,7) liegt , aber trotzdem sind die Dreiecke AUCH Kongruent( BILD 4)
ABC2 =ABC1
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-03
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Hallo Ziad,
das was du betrachtest, sind ja Grenzfälle. Die müsste man - und da hast du recht - eigentlich zusätzlich noch erwähnen.
Der Satz für sich stimmt aber. Er sagt ja nur, dass für den Fall (also dass der Winkel der längeren Seite gegenüberliegt) ein Dreieck eindeutig bestimmt ist. Über die beiden anderen Fälle sagt der Satz nichts aus.
Da in diesen beiden Fällen aber andere Sätze greifen (im einen Fall der Satz des Thales, im anderen Fall die Definition des gleichschenkligen Dreiecks), muss man es wiederum nicht tun. Ich habe dir diese beiden Fälle in Beitrag #1 nicht umsonst so genau erläutert. 😉
Gruß, Diophant
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ziad38
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-03
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also kann ich so sagen
Kongruenzsatz:
wenn zwei Dreiecke in den Längen zweier Seite und der Größe Winkel,der der entweder
1) der längeren Seite(a) (c=5,7 a=7) liegt oder
2) gegenüber einer Seite (a=5,7) , die gleich lang wie die andere Seit(c=5,7)
oder
3)gegenüber der kürzere Seite (a=4,4) , die kürzer als die andere Seite c ( c=5,7)
liegt dann sind die beiden Dreiecke in diesen 3 Fällen AUCH KONGRUENT?.
das meine ich GENAU?
also Erweiterung von Kongruenzsatz.
Natürlich gilt das nicht für JEDE Länge a. Bsp wenn a zwischen 4,4 und 7 . dann sind die Dreiecke NICHT kongruent. Da gibt es 2 Lösungen.
das meine ich.
Stimmt so?
ja deine Zeichnung hat mir klar gemacht.
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Diophant
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-03
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Hallo Ziad,
nein. Bitte merke dir den Satz genau so, wie er im Buch steht. Und die beiden Sonderfälle merkst du dir getrennt. 🙂
Bei den Kongruenzsätzen geht es um allgemeine Dreiecke, für die man auf jeden Fall drei Angaben benötigt.
Die Spezialfälle, die du hier betrachtest sind entweder gleichschenklige oder rechtwinklige Dreiecke. In beiden Fällen reichen - sofern man eben weiß, dass ein gleichschenkliges oder ein rechtwinkliges Dreieck gesucht ist - zwei Angaben aus. Insofern sollte man das gar nicht zu den Kongruenzsätzen zählen.
Gruß, Diophant
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ziad38
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-03
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damit ich nicht durcheindander komme
kommt aus gleichschenkliges ( a==5,7c) und Rechtwinkliges ( a=4,4 und c= 90 Grad) und (c=5,7) auch Kongruenz Dreiecke , oder nicht?
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Diophant
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| Beitrag No.9, eingetragen 2020-05-03
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Hallo Ziad,
ja: auch diese Dreiecke sind eindeutig bestimmt.
Gruß, Diophant
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ziad38
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-03
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noch Frage :
Zitat"Bei den Kongruenzsätzen geht es um allgemeine Dreiecke, für die man auf jeden Fall DREI Angaben benötigt.""
also meinst du wenn es rechtwinkliges oder gleichschenkliges , dann muss nicht DREI Angaben?( 2 Angaben reichen)
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Diophant
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| Beitrag No.11, eingetragen 2020-05-03
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Hallo Ziad,
\quoteon(2020-05-03 14:22 - ziad38 in Beitrag No. 10)
also meinst du wenn es rechtwinkliges oder gleichschenkliges , dann muss nicht DREI Angaben?( 2 Angaben reichen)
\quoteoff
Wenn man das weiß, also dass ein Dreieck gleichschenklig oder rechtwinklig sein soll: ja.
Gruß, Diophant
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ziad38
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-03
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was ich bis jetzt NICHT verstehe warum soll ich den Satz nicht erweitern, und sagen auch wenn der winkel gegenüber eine gleichlange oder sogar kürzere seit liegt. warum
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Diophant
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| Beitrag No.13, eingetragen 2020-05-03
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Hallo Ziad,
\quoteon(2020-05-03 14:35 - ziad38 in Beitrag No. 12)
was ich bis jetzt NICHT verstehe warum soll ich den Satz nicht erweitern, und sagen auch wenn der winkel gegenüber eine gleichlange oder sogar kürzere seit liegt. warum
\quoteoff
Du kannst das für dich gerne tun, denn es ist richtig. Da du jedoch zur Schule gehst, kann ich dir schlecht zu Dingen raten, die dann etwa in einer Klassenarbeit missverständlich oder nicht im Sinne des Lehrers sind und zu Punktabzug führen. Das ist im wesentlichen der Grund.
Wenn du einer Sache einen anderen Namen gibst, ändert das an den Eigenschaften dieser Sache nichts. Ich könnte mein Auto etwa ab sofort Aston Martin DB11 nennen. Das ändert aber nichts daran, dass es ein 12 Jahre alter Peugeot ist. 😉
Und so ist es eben auch egal, ob du deine Spezialfälle auch als Kongruenzsatz bezeichnest (bzw. dem Kongruenzsatz SsW zurechnest) oder nicht: das ändert nichts daran, dass sie richtig sind. 🙂
Gruß, Diophant
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ziad38
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-03
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ziad38 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
ziad38 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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