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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » IR² bijektiv zu IR
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Universität/Hochschule J IR² bijektiv zu IR
Cyborg
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  Themenstart: 2020-05-05

Hallo, Leute! Ich habe diesmal folgendes Problem: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_r2zur.jpg Ich behaupte, dass in diesem Beweis oben, die Funktion f nicht injektiv ist: \[ x=0,09999999999... \\ y=0,09999999999... \\[0.5cm] X=0,00000000000... \\ Y=0,10000000000... \\[1cm] \text{Dann ist:} \\[0.5cm] f(x,y)=0,009999... \\ f(X,Y)=0,010000... \\[1cm] \text{Es gilt also: }(x,y)\neq(X,Y)\text{, aber: }f(x,y)=f(X,Y) \] \red\ Kann man diesen Beweis noch retten?? Ich habe übrigens einen relativ hässlichen Beweis von \IR^2 bijektiv \IR noch als Ersatz, der aber korrekt ist. Könnt ihr mir vielleicht einen schönen Beweis finden, evtl. mit dem korrigiertem Argument von oben, vielleicht kann man das auch richtig machen. Danke.


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-05

\quoteon(2020-05-05 11:41 - Cyborg im Themenstart) Ich behaupte, dass in diesem Beweis oben, die Funktion f nicht injektiv ist: \quoteoff Du hast den Hinweis übersehen, dass $x$ und $y$ in der kanonischen Dezimaldarstellung hinzuschreiben sind. Ich habe zwar keine Ahnung, was dein Buch darunter genau versteht, aber es kann nicht sein, dass die Darstellungen $0\mathord,09999\ldots$ und $0\mathord,10000\ldots$ beide kanonisch sind. --zippy


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-05

Hallo Cyborg, \quoteon(2020-05-05 11:41 - Cyborg im Themenstart) \[ x=0,09999999999... \\ y=0,09999999999... \\[0.5cm] X=0,00000000000... \\ Y=0,10000000000... \\[1cm] \text{Dann ist:} \\[0.5cm] f(x,y)=0,009999... \\ f(X,Y)=0,010000... \\[1cm] \text{Es gilt also: }(x,y)\neq(X,Y)\text{, aber: }f(x,y)=f(X,Y) \] \quoteoff x und y sind hier nicht in kanonischer Darstellung, denn es ist x = y = 0,1. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Cyborg
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-05

OK! Danke euch beiden. Jetzt weiß ich, was mit kanonisch gemeint ist.


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Cyborg hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Cyborg hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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