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 Flächenbeweis gesucht |
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Bekell
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 |  Themenstart: 2020-05-15
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Beweise aus dieser idealtypischen Zeichnung und einigen (naheliegenden) Annahmen, die sich daraus ergeben, daß die beiden unterschiedliche blau gefärbten Flächen gleich groß sind.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_9-tel_Kreis.png
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Kitaktus
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| Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-15
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Unter naheliegenden Annahmen hat der blaue Halbkreis ein Achtzehntel der Fläche des großen Kreises.
Die andere blaue Fläche besteht aus einem Kreissektor, der ein Neuntel der Fläche des großen Kreises hat, abzüglich eines "weißen" Halbkreises, der ein Achtzehntel der Fläche des großen Kreises hat.
Daher sind beide Flächen gleichgroß.
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viertel
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-15
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\quoteon(2020-05-15 07:01 - Bekell im Themenstart)
… aus dieser idealtypischen Zeichnung …
\quoteoff
Was ist denn das wieder für eine unsinnige Wortschöpfung 😖 ?
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Bekell
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-15
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\quoteon(2020-05-15 15:56 - viertel in Beitrag No. 2)
\quoteon(2020-05-15 07:01 - Bekell im Themenstart)
… aus dieser idealtypischen Zeichnung …
\quoteoff
Was ist denn das wieder für eine unsinnige Wortschöpfung 😖 ?
\quoteoff
Was schlägst Du für eine Alternative vor, Viertel?
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viertel
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-15
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Laß das „idealtypischen“ weg.
Was soll das bedeuten 🤔?
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Bekell
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-16
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\quoteon(2020-05-15 22:35 - viertel in Beitrag No. 4)
Was soll das bedeuten 🤔?
\quoteoff
Das meint: Wir sehen den Kreis in ungefähr 9 gleich große Sektoren geteilt. Würden wir nachmessen, ergäbe sich bestimmt an der 2. 3. oder 4. Nachkommastelle ein Unterschied. Diesen Unterschied negligieren wir und verstehen, daß der Aufgabensteller wirklich "gleich große" meint. Das meint cum grano Salis "idealtypisch."
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pzktupel
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2020-05-16
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Hallo Bekell !
Also das könnte sein, aber so funktioniert das nicht !
Wir haben zwar pi/18 für das halbe Neuntel, aber es gibt keinen Hinweis, wo Punkt E zu finden ist. Der ist selbst in der Zeichnung so fett, dass er bei -0.32 sein könnte..oder auch nicht.
Für -0.32 hätte man für den Kreis 3.24/18, also nicht pi/18
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Bekell
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-16
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@PKZ-Tupel
mit "cum grano Salis" meinte ich das dies für alle dort anzutreffenden zeichnerischen Ungenauigkeiten, Schlampereien und Lieblosigkeiten gelte. Hinweis darauf sollte die Tatsache darstellen, daß eine 9 Teilung vorliegt, die auf den Durchmesser 3 anspielt.
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pzktupel
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| Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-16
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Dann ist einfach nur die Zeichnung aus der Berechnung (grob) generiert....und somit sind die Flächen identisch. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/images/forum/subject/rolleyes.gif
Wenn schon, dann d=2
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Bekell
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-16
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\quoteon(2020-05-16 06:52 - pzktupel in Beitrag No. 8)
Wenn schon, dann d=2
\quoteoff
Naja, man könnte sagen, wenn man einen 40° Sektor halbieren möchte, teile die Kathete durch 3 und schlage mit der Drittel als Radius einen Halbkreis. Den kann man dann sogar an der Kathete im Sektor hin und her gleiten lassen, solange er den Sektor nicht verlässt....
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pzktupel
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| Beitrag No.10, eingetragen 2020-05-16
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Achso !
Das war nicht so klar, dass BD 1/3 von 1 ist ... tja dann ist sehr wohl
[(1/3)^2 * pi]/2=1/18 pi der FE des kleinen Halbkreises...und das ausgefressene 1/9 vom Großkreis ebenso. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/images/forum/subject/lookaround.gif
Siehe #No.6
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Bekell
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-16
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\quoteon(2020-05-16 10:22 - pzktupel in Beitrag No. 10)
Achso !
Das war nicht so klar, dass BD 1/3 von 1 ist ... tja dann ist sehr wohl
[(1/3)^2 * pi]/2=1/18 pi der FE des kleinen Halbkreises...und das ausgefressene 1/9 vom Großkreis ebenso. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/images/forum/subject/lookaround.gif
Siehe #No.6
\quoteoff
Es verhalten sich nun die beiden Sektoren wie 1:8. Also der kleine blaue 1/9 Sektor ist 1 und der große mit dem Halbkreis sind 8. Der Halbkreis hat 4,5/9 und die Restfläche (großer Sektor minus Halbkreis minus kleiner Sektor genau 3,5/9.
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viertel
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| Beitrag No.12, eingetragen 2020-05-16
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Der Anhaltspunkt für die Lage von E ist doch wohl, daß die beiden Kreise gleich groß sind/sein sollen 😉
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viertel
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| Beitrag No.13, eingetragen 2020-05-16
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\quoteon(2020-05-16 06:17 - Bekell in Beitrag No. 5)
\quoteon(2020-05-15 22:35 - viertel in Beitrag No. 4)
Was soll das bedeuten 🤔?
\quoteoff
Das meint: Wir sehen den Kreis in ungefähr 9 gleich große Sektoren geteilt. Würden wir nachmessen, ergäbe sich bestimmt an der 2. 3. oder 4. Nachkommastelle ein Unterschied. Diesen Unterschied negligieren wir und verstehen, daß der Aufgabensteller wirklich "gleich große" meint. Das meint cum grano Salis "idealtypisch."
\quoteoff
Was ein Quatsch 😖
Würdest du nicht in den Zeichnungen rumpfuschen, sondern konstruieren (das geht bei $\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$ zwar nicht geometrisch, aber bei GeoGebra kann man durchaus einen exakten Winkel von $40^\circ$ angeben), dann bräuchtest du diese schwülstigen Formulierungen nicht.
Ich habe mal nachgesehen: „idealtypisch“ gibt es tatsächlich 😲
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Bekell
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-16
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\quoteon(2020-05-16 14:01 - viertel in Beitrag No. 13)
....dann bräuchtest du diese schwülstigen Formulierungen nicht.
\quoteoff
Wie man auf der Zeichnung unschwer erkennt, habe ich die Winkel eingegeben. Die stimmen also, aber der linke kleine Kreis, der zwar fest auf der x-Achse ist, aber mit der Rechts-Taste positioniert wurde, bringt Ungenauigkeit. Die Weissung der oberen Hälfte tut ein Übriges zum schlechten Aussehen der Grafik.
\quoteon(2020-05-16 14:01 - viertel in Beitrag No. 13)
Ich habe mal nachgesehen: „idealtypisch“ gibt es tatsächlich 😲
\quoteoff
Ja, natürlich gibt es das Wort, ich hab es mir ja nicht ausgedacht, aber ob es in Geometrie schon so verwendet wurde, weiss ich nicht. Ich weiss nicht mal, wo ich es herhabe, aber ich finde es passt. Wenn Du ein besseres weist, nehm ich das.
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viertel
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| Beitrag No.15, eingetragen 2020-05-16
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\quoteon(2020-05-16 14:10 - Bekell in Beitrag No. 14)
Wie man auf der Zeichnung unschwer erkennt, habe ich die Winkel eingegeben.
\quoteoff
Aber sicher doch 😁
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/1781_Flaechenbeweis_gesucht_247403.png
\quoteon(bekell)
aber der linke kleine Kreis, der zwar fest auf der x-Achse ist, aber mit der Rechts-Taste positioniert wurde, bringt Ungenauigkeit.
\quoteoff
Das meine ich mit: „würdest du konstruieren“. Wieso schiebst du Elemente nach Augenmaß zurecht, die man exakt konstruieren kann. Und die, wenn man es richtig macht, sich bei jeglicher Änderung der Ausgangssituation einer Zeichnung (hier: der große Kreis) anpassen.
Und auch hier hattest du es wieder den Glaskugeln deiner Leser überlassen, den Konstruktionsgedanken (sofern es denn auch tatsächlich konstruiert worden wäre) zu erahnen. Daß das Gitter im Hintergrund nix taugt, wissen wir doch inzwischen (z.B. einen Schnittpunkt mit der x-Achse als verschobenes $\frac{\pi}{2}$ zu erkennen). Oder wie sonst kam Beitrag #6 zustande?
Ein Hinweis wie in Beitrag #12, und es hätte keine Verwirrungen gegeben.
Wann fängst du endlich an, deinen Spruch in die Tat umzusetzen:
Das Schwierige ist nicht die Mathematik. Schwierig ist es zu formulieren, daß man selber versteht, was man sieht und die anderen auch!
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pzktupel
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| Beitrag No.16, eingetragen 2020-05-16
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Abschließend würde ich sagen, hätte Bekell den Punkt D und E mittels Schulmethode fixiert (wie teile ich eine beliebige Strecke in zig gleichgroße Teile), dann wäre das ein schlüssiges Sahnebonbon gewesen. 😉
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Bekell
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-16
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\quoteon(2020-05-16 16:54 - pzktupel in Beitrag No. 16)
..., dann wäre das ein schlüssiges Sahnebonbon gewesen. 😉
\quoteoff
bekenne, Didaktik ist nicht meine starke Seite...
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viertel
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| Beitrag No.18, eingetragen 2020-05-16
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Es geht ja nicht um Didaktik. Du sollst ja niemandem etwas beibringen.
Du sollst dich nur verständlich ausdrücken. Und passende/brauchbare Informationen mitliefern, wenn du eine Frage stellst.
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Kitaktus
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| Beitrag No.19, eingetragen 2020-05-17
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Ich fasse mal zusammen:
Das Wort "idealtypisch" hat zwar keine exakte mathematische Definition, aber es ist ein normales Wort und keine "unsinnige Wortschöpfung" und ist durchaus geeignet, dem Leser mitzuteilen, dass alles was in der Zeichnung gleichgroß erscheint, auch gleichgroß sein soll:
- die neun Kreissektoren sind kongruent
- die beiden kleinen Kreise sind kongruent
Ja, man hätte schreiben können, dass E die Strecke BM im Verhältnis 2 zu 1 teilt.
Ich sehe hier aber einen ziemlichen Doppelstandard.
Zeichnet jemand in einer Skizze einen Kreis, markiert ungefähr in der Mitte einen Punkt und schreibt M dran, dann geht jeder davon aus, dass M der Mittelpunkt des Kreises ist.
Zeichnet jemand drei Punkte, die auf einer durchgehenden Linie liegen, dann geht jeder davon aus, dass das drei Punkte auf _einer_ Geraden sind.
Aber bei zwei "gleich groß aussehenden" Kreisen wird ewig diskutiert.
Ich habe die Frage gerade an einem Fünftklässler getestet. Der hat sofort gesagt, dass jeder Sektor ein Neuntel des Kreises ist und dass der Durchmesser des kleinen Kreises ein Drittel des großen Kreises ist...
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viertel
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| Beitrag No.20, eingetragen 2020-05-17
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\quoteon(2020-05-17 17:54 - Kitaktus in Beitrag No. 19)
Das Wort "idealtypisch" hat zwar keine exakte mathematische Definition, aber es ist ein normales Wort und keine "unsinnige Wortschöpfung" …
\quoteoff
Geht auf meine Kappe. Ich kannte das Wort nicht (und hätte auch nicht gedacht, daß es das gibt), hätte erst googeln sollen😁
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Bekell
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-17
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\quoteon(2020-05-17 17:54 - Kitaktus in Beitrag No. 19)Ich habe die Frage gerade an einem Fünftklässler getestet. Der hat sofort gesagt, dass jeder Sektor ein Neuntel des Kreises ist und dass der Durchmesser des kleinen Kreises ein Drittel des großen Kreises ist...
\quoteoff
Konnten die Kinder die Aufgabe selbständig lösen?
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