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Analysis » Topologie » Banach-Tarski-Paradoxon (abzählbar, Bijektion)
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Universität/Hochschule Banach-Tarski-Paradoxon (abzählbar, Bijektion)
PiJey100
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-16


Wunderschönen guten Morgen :)

Ich beschäftige mich momentan mit dem Banach-Parski Paradoxon und habe Probleme dabei eine Menge als abzählbar zu identifizieren. Es geht dabei um folgenden Beweis, welchen ich in einer Bachlorarbeit gefunden habe:



Mir ist dabei nicht klar, wieso die Menge $H_{d, z}$ abzählbar ist. Dort wird eine zugehörige Bijektion von der Menge D, welche abzählbar ist, angegeben, allerdings verstehe ich die Zuordnung nicht (Sprich der letzte Absatz). Kann mir jemand helfen und diese Bijektion explizit angeben? Ist es $d \rightarrow z$ oder was genau wird dort gemeint?


Hoffe, dass mir diesbezüglich jemand helfen kann.



Liebe Grüße,

PiJey



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-16


Hallo,

Meiner Meinung nach stimmt da einiges nicht. Erst mal, müsste es nicht sein
$$H_{d,z}=\left\{h:h^z(d)\in D\right\}\subseteq R\enspace?$$
So wie ich es sehe, werden nun sowohl ein festes $z$ und ein festes $d$ betrachtet und $H_{d,z}$ ist dann die Menge der Rotationen $h$, so dass deren $z$-fache Anwendung den Punkt $d$ auf irgendein Element aus $D$ abbildet. Da diese "Zielpunkte" abzählbar sind, müssen es auch die $h$ höchstens sein. Allerdings sehe ich nicht, wieso dies eine "one to one correspondence" sein sollte, es kann doch bei fixer Rotationsachse auch ganz viele Punkte geben, auf welche sich $d$ nicht drehen lässt. Oder dass man $d$ sogar auf überhaupt keinen Punkt drehen lassen kann, wenn keiner auf demselben Breitengrad ist...

EDIT: Ausserdem gibts doch für jeden möglichen Zielpunkt auf dem gleichen Breitengrad gleich (abzählbar) unendlich viele $h$. Einerseits kann man ja sowohl nach rechts als auch nach links drehen, andererseits zu jedem Drehwinkel ein beliebiges Vielfaches von $\frac{2\pi}{z}$ addieren.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-16


@traveller: Es werden nur solche h betrachtet, die eine Rotation um eine feste Achse sind. Und damit ist auch \(h^z\) eine Rotation um diese Achse, liegt also wieder in R.

Dass die Korrespondenz eine Bijektion sein soll, glaube ich nicht. Da steht ja auch "between elements" und nicht "between all elements". Also übersetzt etwa "Korrespondenz zwischen gewissen Elementen von D und \(H_{d,z}\)".

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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PiJey100
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-16


Vielen Dank für eure Rückmeldungen traveller und StrgAltEntf.

Du hast absolut recht traveller, ich hab das in meiner Ausarbeitung genau so wie du interpretiert und gesagt, dass es eigentlich
$$H_{d,r}=\left\{h:h^z(d)\in D\right\}\subseteq R\enspace$$ heißen muss. Andere Literaturen bestätigen uns da auch.

So wie es aussieht habe ich die Aussage dann wohl falsch interpretiert, es muss nicht zwingend eine Bijektion zwischen D und $H_{d,r}$ geben. Die Argumentation scheint zu sein, dass die Mächtigkeit von $H_{d,r}$ kleiner (oder gleich) der Mächtigkeit von D ist, und da D abzählbar ist wird auch ${H_d,r}$ (höchstens) abzählbar sein.
Dann müsste es stimmen, oder?


Liebe Grüße

PiJey

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-16


2020-05-16 11:05 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
@traveller: Es werden nur solche h betrachtet, die eine Rotation um eine feste Achse sind. Und damit ist auch \(h^z\) eine Rotation um diese Achse, liegt also wieder in R.

Das hab ich schon verstanden. Aber laut dem Text soll ja
$$R=\left\{h:h^z(d)\in D\right\}$$ sein, was doch überhaupt keinen Sinn macht wenn $R$ im Vorhinein gewählt wurde mit der einzigen Einschränkung, dass die Achse nicht durch Punkte in $D$ gehen soll.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-16


2020-05-16 11:16 - PiJey100 in Beitrag No. 3 schreibt:
So wie es aussieht habe ich die Aussage dann wohl falsch interpretiert, es muss nicht zwingend eine Bijektion zwischen D und $H_{d,r}$ geben. Die Argumentation scheint zu sein, dass die Mächtigkeit von $H_{d,r}$ kleiner (oder gleich) der Mächtigkeit von D ist, und da D abzählbar ist wird auch ${H_d,r}$ (höchstens) abzählbar sein.
Dann müsste es stimmen, oder?

Ja, würde ich auch sagen.

Ich habe aber den "Beweis" auch so interpretiert, dass sie die Bijektion gerade so konstruieren, dass es für jedes $d\in D$ genau ein mögliches $h$ gibt. Das kann aus mehreren Gründen nicht stimmen, beachte auch noch meinen Edit in Beitrag 1. Es gibt sowohl $d\in D$, für welche kein $h$ existiert (nämlich wenn sie nicht auf dem gleichen Breitengrad liegen), für alle anderen gibt es gleich abzählbar unendlich viele.

Für den Beweis ist schlussendlich aber nur wichtig, dass alle $H_{d,z}$ höchstens abzählbar sind.



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PiJey100
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-16


Richtig, das war auch mein Problem als ich versucht habe eine Bijektion zwischen den beiden Mengen zu konstruieren.

Vielen lieben Dank für eure Hilfe!


Liebe Grüße

PiJey



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-16


2020-05-16 10:50 - traveller in Beitrag No. 1 schreibt:
Meiner Meinung nach stimmt da einiges nicht. Erst mal, müsste es nicht sein
$$H_{d,r}=\left\{h:h^z(d)\in D\right\}\subseteq R\enspace?$$

Ja, natürlich, jetzt sehe ich es auch. Habe es intuitiv so gelesen :-)

Aber ihr beide meint jedes Mal z statt r, nicht wahr?



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-16


Ja, habs in meinen Beiträgen korrigiert.



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PiJey100 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
PiJey100 hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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