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Universität/Hochschule Gekoppelte partielle Differentialgleichungen
Mathefreund123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-16


Hallo Mathefreunde,

Ich bin vor einiger Zeit auf folgende gekoppelte partielle Differentialgleichungen gestoßen:
Mit der üblichen Abkürzung der partiellen Ableitungen, also \(v_t = \frac{\partial}{\partial t}v(t,q)\), \(\varphi_t = \frac{\partial}{\partial t}\varphi(t,q) \) usw., sieht das System wie folgt aus:
\[
\begin{array}{lll}v_t  + q(s_0-aq) + \frac{1}{2 \kappa}v_q^2 + \frac{\sigma^2}{2}v_{qq} + \frac{\sigma^4}{8g}v_{qq}^2 - \frac{\lambda}{\kappa}v_q \varphi_q  + \frac{\lambda^2}{2 \kappa}\varphi_q^2 &= \,\,\, 0, \\
\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} v(T,q) &= \,\,\, 0,
\end{array}
\] und
\[
\begin{array}{lll}
\varphi_t + \frac{1}{2} \sigma^2 \bigl(1+\frac{\sigma^2}{2g} v_{qq}\bigr) \varphi_{qq} &= \,\,\, 0, \\
\hphantom{aaaaaaaaaaaaaa}\varphi(T,q) &= \,\,\, (s_0 - aq)^2,
\end{array}
\] wobei \(s_o, a, \sigma, \kappa, g > 0\) und \(\lambda \in \mathbb{R}\).

Diese kann man mit dem folgendem Ansatz lösen:
\[\varphi(t,q)= A(t)q^2 + B(t)q+C(t), \quad v(t,q)=D(t)q^2 + E(t)q + F(t),\] wobei wobei $A,B,C,D,E,F$ deterministische Funktionen der Zeit sind, welche noch zu bestimmen sind.

Nun habe ich mir einfach mal die Frage gestellt, wie die Lösung (falls eine existieren sollte) aussehen würde wenn ich die Konstanten \(\kappa, g\) durch die Funktionen \(\alpha, \beta : [0,T]  \rightarrow \mathbb{R^+}\) ersetzen würde, welche hinreichend glatt sein sollen. Somit erhalte ich:

\[
\begin{array}{lll}v_t  + q(s_0-aq) + \frac{1}{2 \alpha(t)}v_q^2 + \frac{\sigma^2}{2}v_{qq} + \frac{\sigma^4}{8 \beta(t)}v_{qq}^2 - \frac{\lambda}{\alpha(t)}v_q \varphi_q  + \frac{\lambda^2}{2 \alpha(t)}\varphi_q^2 &= \,\,\, 0, \\
\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} v(T,q) &= \,\,\, 0,
\end{array}
\] und
\[
\begin{array}{lll}
\varphi_t + \frac{1}{2} \sigma^2 \bigl(1+\frac{\sigma^2}{2 \beta(t)} v_{qq}\bigr) \varphi_{qq} &= \,\,\, 0, \\
\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaa}\varphi(T,q) &= \,\,\, (s_0 - aq)^2.
\end{array}
\]
Ich habe dann versucht analog mit dem obigen Ansatz das System zu lösen, jedoch ohne Erfolg. Kann mir zufällig jemand hier weiterhelfen bzw. kennt geeignete Literatur?
Ein Ansatz für den Spezialfall \(\lambda = 0\) würde mir auch schon sehr weiter helfen.

LG Mathefreund123



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Mathefreund123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-19


Hat den wirklich keiner einen Ansatz für mich?



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-26


Hallo,

ich habe da leider keine Idee. Durch die quadratischen Terme wie <math>v_{qq}^2</math>, <math>\varphi_q^2</math> oder <math>\varphi_{qq}\cdot v_{qq}</math> hätte ich da nicht sehr viel Hoffnung, überhaupt eine explizite Lösung zu finden, wobei der erste dieser Terme eben auch für <math>\lambda=0</math> da ist.

Bei der Version mit den konstanten Koeffizienten passt ja irgendwie alles sehr genau zusammen, die Potenzen sind gerade so, dass nirgends mehr als <math>q^2</math> auftritt, die "Anfangsbedingung" bei <math>t=T</math> ist auch ein Polynom 2.Grades. Schon wenn man eine etwas andere Anfangsbedingung stellen würde, bricht das alles zusammen, von daher sehe ich nicht, wie man über diese spezielle Situation hinaus explizit noch etwas finden kann.

Viele Grüße,
haerter


-----------------
"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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